《高等数学》课程授课教案（讲义）第七章 微分方程 第二节 可分离变量的微分方程

第十二章微分方程 第二节可分离变量的微分方程 2可分离支显的微分方程 一、可分支型的微分方程的定义 定义若一个一阶微分方程能写成g()dy=(x)dx的形式，则称该方程为 可分虫支的袋分方程， 二、可分离支显的增分方程的解法一分离变量法 阳粉贵-2的腿n 解分离变量得 dy=2xdx y 两边积分 -J2xdx. n=x2+C, y=t°e2, 故通解为 y=Cg°（C=士9). 注为了书写方便可用下列简化写法： 年分实牌-2xd 两边积分 axdx Iny=x+C, 故通解为y=C。”. 例？求方程(e+?-g')d+(e”+e')=0的通解 分装#名中行

1 第十二章 微分方程 第二节 可分离变量的微分方程

两边积分 jw-. 得 ln(g-1)=-ln(e+1)+1nC, 拉通解为 (e-De'+1)=C 3求方程y=y2tamx的通解， 解分离变量得 号=md, 两边积分 -ftan dx. -1=-Inkos-C 1 拉通解为y严nkos对+C 例4求方程(x+2)dx+0-x2)dy=0满足初始条件y儿0=1的特解 解分离变量得 4产4 两边积分 4y可后4， +)=-h(-)+inc. 故通解为 1+y2=C1-x2) 由儿。=1得C=2. 拉所球特解为1+y少2=21-x)

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2x2+y2-=1. 幅数了因连精可，县满足0d=j闭-，*0闭. 解原方程两边对x求导得 ，对(x)=f"(x)-x f"()=对()+x. 分离变量得 dLf()] 两边积分得 in[f(+C, 即 1=c号-1. 又由原方程得f(0)=0,故C=1, fW=e5-1. 3

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