《高等数学》课程授课教案（讲义）第九章 多元函数微分法 第六节 多元函数微分学的几何应用

第八章多元函数微分法 第六节多元函数微分学的几何应用 一、空0曲线的线与法平面 「x=) 设空间曲线的参数方程为了：y=(0,曲线上点Mo(不%20)处切线 z=a() MT的方程为： 说明1°切线的方向向量称为曲线的切向量。 2°过点M。,与切线垂直的平面称为曲线的法平面，法平面的方程为： 0o)(x-x0)+y%0y-y0)+0'%)(2-20)=0 「x=2-2 求曲线y=-1在点(2,1，-)处的物线方程和法平面方程 z=-t3+2 「x=2达 解固为y=1,故点(2,1-处曲线的切肉显为(4,1.-12) 2'=-32 所求切方程为： =2.1-+6 4 1=-12 所求法平面方程：4(x-2)+1.0-1)-12(2+6)=0即4x+y-122-81-0 创：求曲线y在点(Q,0,1)处的切线方程。 解原曲线方程可变为以x为参数的参数方程： y=x2-1,所以点(1,0,1)处的切向量 [z=2-x 为(1,2，-1)，所求切线方程为 二、曲面的平面与法线 个 设曲面公的方程为：F(xX)=0,Σ上的-点为M,( 在∑上过点Mo(0g2)任意作一条曲线厂，设「的方程为

1 第 八 章 多元函数微分法 第六节 多元函数微分学的几何应用

「x=) y=④ 点4（不0020）对应=6,点M(不0,20)处曲线的切向量为 (),少o,0'o》由曲蛾T在曲面∑上，故F(),),@()=0,两边对 t求导得 (0,0,)·0+F),40,a》)+《r④，4，a④=0 令t=6,得 (,%,2)(6)+(,%,)少%)+（0%，2a'%)=0 上式说明：((，可(6，为，2，o%》1(6).),0'》 即曲面∑上过点M(不和0,20)的任意曲线T的切向量都在同一个平面内，我们把这些 切向量都在的平面称为曲面∑在点M,(%,2。)处的开面，上面过程说明：切平面 的法向量为((x0%,20).(00),(,2》,故曲面∑在点 M0(0,y0,20)处的切平面方程为： (x,%,(x-x)+F(%,20)0y-%)+F(%,20)2-2)=0 曲面∑在点M0(x少0,2)处与切平面垂直的直线称为曲面的法线，它的方程为 x-而 y-% z-的 '(0为20)(0h2)(%) 说明1°点M。(0》0,2)处切平面的法向量叫做曲面在M0(0,为，20)处的法向量， 2°曲面∑：z=f(x,)在点M0(不为%，寸（不0，%）》处的法向量为 (（,%,(,-1 例3求旋转抛物面z=x2+y2-1在点（2,1,4)处的切平面及法线方程。 gB装-2，多=2y,微点210的月功2-0 所以点〔2,1,4)处的切平面方程为：4x+2y-z-6=0

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例4求椭球面x2+2y2+3z2=6的切平面，使它与平面x+2-240平行。 解设切点为（不0为%，20），切点处的法向量为(20,4%，62)，由题意得 2西.4%-，62+22+362=6 所似而=士1，为=士1,20=干1，热所球切平面为 x+2y-3z±6=0

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