《高等数学》课程授课教案（讲义）第十二章 无穷级数 第七节 一般周期函数的傅里叶级数

第十一章无穷级数 第七节一般周期函数的傅里叶级数 第七节俾里叶领数 一三角级数三角函数系及其正交性 1.三角皱数 定效1题学+宫c以+血网（中：乌提装） 称为三角级数. 2.三角函数系 定义2函数列1，cosx,sinx,cos2x,sin2xL,cosx,sinx,L 称为三角函数系。 注三角函数系在[一元，刀]上具有正交性，是指：川 （1)三角函数系中任何两个不同函数的乘积在[-开，)]上的职分均等于零，即 cosmdx=0,sindx=0 (=1.2.), cosmxsindx=0 (m=12.) cosmx cosmxdx=0sinmsinxdx=0 (m≠需mn=1,2）； （2)三角函数系中每个函数的平方在[-兀，刀]上的积分均大于零，即 [pdx-2n,cosmdx=,sindx= (=1,2). 二、函数的博理里叶级数与博里叶系数 定义3设∫(x)是周期为2π的周期函数，则以 a=[f(x)cosnxdx (n=0.12.): 点=，f()sinnxdx(n=1,2.)

1 第十一章 无穷级数 第七节 一般周期函数的傅里叶级数

并称其系数为寸(x)的博叶系数 注如果f(x)能展开成三角级数，那么由三角函数系的正交性可证明该三角级数戴是f(x) 的里叶级数 三、函数可以展开成博里o叶领数的条件(Diic业充分条件) 定理（收效定理）设∫(x)是周期为2π的周期函数，如果f(x)在[-π，刀]上满足： 1)连速或只有有限个第一间断点： 2最多只有有限个极值点， 则f(x)的里叶级数收敛，并且 当x为寸(x)连续点时，级数收敛于f(x): 当x为f()间断点时，级数收效于)x-0)+(x+0]。 注P当不=切时，领数收效于/（不+0）+/不-01. 2”等式f闭)=号+立(a,co9x+久in州网称为fd)的牌里领数屁开式 3当f(x)满足收敛定理的条件时，f(x)的停里叶级数的收敛城是(-0<x<+∞)， 面了)的展开式的成立范困是{/)=/x-0)+fx+0明， 通常它是f(x)的所有连续点的集合 4°设f(x)的博里叶级数的和函数为S(x),则 f(x) x为时(x的连续点 s()= /x-0)+Jx+1为rx的间断点 2

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例1设f(x)为周期2π的函数，它在〔一兀，刀上表达式为 J)-2x-x0 1x+10≤x≤π 则f(x)的停里叶级数在在x=0处收敛于 在一含8于 在x=处收于一：在X=处收于—： 2 解设s(x)为f(x)的傅里叶级数的和函数，则在点处f(x)的博里 叶皱数收敛于s(x)· 由收敛定理得：0)=0-0)+/0+0.1 孕=5=5+1 0=fm-0+r+0_+1+(-20）.1-x】 2 =经+20=孕=水-受=-. 2 2 四、将函数展开诚博里叶级数 1.格周期为2π的周期函数展开成博里叶领数的方法与步柔 〔1)求f(x)的间断点〔由f(x)的图弗确定)： (2)计算f(x)的傅里叶系数 ao=/()ds 4=Jf到c 8=12A

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4,=,f)mxd8=12A: （3)写出f()的傅里叶级数展开式，并确定其成立范围： 因受宫似m网 xe{/)=fx-0)+x+0明. 注当f(x)是奇函数时，其停里叶系数为 a=0(m=0,12,): A=20)mxdx（m=12A力 树/因金里恩为之出，之为国最 当f(x)是偶晒数时，其傅里叶系数为 比时()的得显叶极数为受+之马，60s,之为余密极数。 2设了(x)为周期2π的周期函数，它在（一π，川上表达式为 a-{9 将f(x)展开成傅里叶领数 解〔1)f(x)的间断点为x=r〔k=0,士1,2，.). aa因k=a=1:

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a-闭csa =coxx=0（m=12A方 6-J网血x =新snd=om =点-i5(a=2Ay 〔注Cos=(-1)2) （3)f(x)的傅里叶级数展开式为 因=受+宫低o瓜+地细网 D0-0 (-0<x<to0,x≠kr,keZ) 3设∫(x)为周期肥π的通数，它在〔-刀，刀上表达式为 m-80 将f(x)展开成傅里叶级数。 -2π2πX 解1)f(x)在(-00，o0)上连续，且f(x)为偶数

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a)4=26阳d=d=: a-新0因=新 -】ta=12归 点=0(8=1,2A). （3)f(x)的停里叶级数展开式为 0闭=受宫ao传细0 c-m 2.将定义在[-，刀]上的函数展开诚博里叶级数的方法与步 〔1)对f(x)作周期延拓，得以2π为周其的周期函数F(x), 求F(x)在[-元，T]上的问断点： （2)计算f(x)的傅里叶系数： 6-Fr6闭d=闭a comdx)comdx n=12 6=F(闭sinx dx=∫，f闭innxdx n=1,2,A: 〔3)写出∫(x)的傅里叶领数展开式，并确定其成立范围： 6

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xE树=Ix-0+x+01-≤x≤ 例4格f(x)=x+π（←万≤x≤列展开成博里叶级数 解（1)对J(x)作周期艇拓得F(x),F(x)在[-，]上的间断点为x=r 2a=,oh=+网dx=2m: =2cosnxdx=0 （n=1,2A)i =,0闭=+网sd =异xndx=2产 〔n=1,2,A. 〔3)f(x)的傅里叶级数展开式为 闭：受+2aosg+6m网=+22 (-π<x<丙. 3.格定文在0，刀上的场数展开成正弦领数（求余边级数）的方法与步要 (1)对∫(x)作奇延拓（或偶证拓）得到定义在[-元，刀]上的奇西数（或佛函数）G(), 再对G(x)作周期驱拓得以2开为周的周明通数F(x),求F(x)在(0，]上的同断点： （2)计算f()的傅里叶系数点（或a,): 么=仁R国nxdx=∫网面版dx为=12A

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1(民ar网x(=012L)月 (3)写出f(x)的正弦级数〔或余范皱数)展开式，并确定其成立范围 网-2Ams侧=ra-0+e4010ss 支树-+360saxE0-Rx-0+x+01.0sx≤） 例5将硒数∫(x)=x+1(0≤x≤π)分别展开成正范级数和余范数 解〔【)展开成正弦级数 （1)对函数(x)进行奇延拓，再进行周期延拓得F(x), F(x)在[0，刀]上的间断点为x=0,x=π 26=2新网adx=2引+0版d =2-(r+jc=l2A) (3)寸(x)的正弦级数展开式为 9+1-交na-22-←+加g (0<x<列 〔Ⅱ)展开成余范级数 〔1)对涵数f(x)进行偶延拓，再进行周延拓得F(x),F(x)在[0，刀川上连续. (n=12A) 〔3)寸(x)的余范领数展开式为 8

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-4h-含空m-含2m-宫na6- (0≤x≤) 八△必心上 刚6设f(x)=x+1(0≤x≤刀，6()是其正弦领数的和函数，则 s(0)= 解0=0-0+/0+0=-1+1=0： 0=8-0+R+0.P-0-P-0-0: 2 2 受=受-2州=孕=-=-9=-受+0： 受=②-晋1. 例7设f(x)=x+1(0≤x≤刀，()是其余弦级数的和函数，则 s(0)= 解s(0)=f(0=1: s(对=f(网=π+1： -孕=9-19-1： -7=s9=+1

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