《高等数学》课程授课教案(讲义)第十二章 无穷级数 第六节 傅里叶级数

第九章重积分 第三节三重积分 一、三重积分根念 3引例设一物体古有空问区城Q,在2中每一点(x,y,2)处密度为(x,y,2),其 中(x,y,2)>0且连续,求该物体的质量m, ①分割将空间区城2任意分成个小区城:△以,△以,.,△y。,这里△既表 示第:个小区城又表示第:个小区域的体积。对应△y的部分的质量为△州,则有 △ ②取近似在△4中任取一点(,7,5,)i=1,2,.,为 △%,sp(5,n,5)△y 0是,宫4na-归字a0咖 2为△叫,△%,.,△y,中直径的最大者 定设f(x,y,z)是空间有界闭驱城2上的有界函数,将2任意分成”个小闭区城 △以,△y,.,△y,其中△y既表示第i个小区域又表示它的体积.在每个△?上任 取一点(传,4,5),作乘积f(传,4,)△y(i=1,2.,n),并作和 立了(怎,m,5)△y,如果当每个小闭驱城直径中的最大值元→0时的3用总存在, 则称此极限为函数f(红,儿,z)在闭驱域Q上的三重积分,记作川f(红,y,2),即
1 第 九 章 重 积 分 第三节 三重积分

∬xy,h=典2f6 其中称为体积元索,x,y,z称为积分变量,区城Q称为积分区感,了(x,y,z)被 积函数 说明1卩在直角坐标系下,加=dxd出 于是∬f(xy.2w=∬fxy,2)dk地 2°空间物体的质量m=∬o(x,z 如果在空间闭驱城0上/(k,y2=1则∬少=空司驱城Q的 体积 4°关于三重积分的存在性及基本性质和二重积分相类似。 二、三重积分的计算方法 1.利拥直角坐标计慎三重积 方法:化为算一个定积分和一个二重积分. (1)设积分区城2满足:上下底面分别为连续曲面z=(x, z=2(x,月,区城Q在xQy面上的投影驱城为D,即区城个z 2=22(x,月 2:z1(x,y)≤z≤z2(x,),(x,y)∈D 则有下列计算公式: ∬xy.aw=∬yx,y.a也 z=21(x,y) 例1计笪1=川xd红其中2为三个坐标面及x+2y+2=1所围或的区 解1=∬xd地=∬红”x
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=1-x-20h =时宁0-2w= 例2计算1=∬dx地其中0:x20,y20,220,2+y+2≤R2 1-∬2h2=儿应 =网a-2-P -R-ra“四teoe亮 例3计算1=川xzd地其中2是由平面z=0,2=y,y=1以及抛物啦 面y=x2所围威. 解1=∬adkt =∬aat =∫小xa=0 (2)设分区感2满足:在z轴上的投影区间为[G1,】(即积分区城夹在两 平面z=G1、z=C2之间),对z轴上[G,C2]内任一点z,作平行于x0y面的 个2 平面,该平面截区城2得一平面区城D,即 Q={x,y,zkx,y)eD,c1≤z≤c2} 则有下列计算公式:
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∬y.w=y, 对例2由于:D,的面积=(号因面积)-牙(R2-2),放 h恤==原-R2-=石 :1=∬a咖==时学动最 对例3用此方法不易计算 例4计算1=∬z2女小出其中Q是由椭球面 22 围成。 1-at-厚小可e0-e智 如用前一个积分公式计算则比较麻烦,用哪一个积分公式要看积分区域,兼被积 函数是什么来定。 2.利用壮面坐标计草三重粉 在二重积分计算中,由积分区城的特点及被积函数的特点,有时用极坐标来计算简 单。对于三重积分来说,也有相应的问题 空间柱面坐标系就是平面极坐标加上z轴。对于空间一点M(,y,z)可以用 口,日,z三个量来确定,(只,日,z)叫做点M的面坐标。个2 Mx,2) 柱面坐标与直角坐标的关系为: [x=pcos日 0≤p<+o0 y=pm9,其中0≤8≤2 Z=2 -G0<Z<100 y
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在柱面坐标系中,三组坐标面分别为: 口=常数A,即以z轴为轴的圆柱面〔x2+y2=A2) =常数,即过z轴的半平面(上=tan=常数 z=常数20,表示平面. 在柱面坐标系下, ∬fxy,a)d的能式是什么? 为此,用一族同轴圆柱面(P=常数),一族有共同边 的半平面(日=常数),一熊平行于x0y面的平面(z= 常数)去分害积分区域Q,把区域Q分成许多小区域,考虑典型的小区域,它可以看 成是由半径为r和r+的两个圆柱面,极角为和日+d8的两个半平面,高度为 和z十让的两个平面所围成。通过以曲代直,可以把这个小区城看成一个小长方体,它 的三边长分别为:dp,ad日,d正 利用元索法,可得体积元索为dy=dad,于是 J∬fxy,ad=j∬f(ocos8,)d 22(0,) 如果积分区城2(如图所示)的 上部曲面用极坐标表示为:z=22(,) 下部曲面用极坐标表示为:2=21(0,) 则有计算公式: 1w-小o 侧5计丝到∬公2+y,其中0是由曲面2+y2=2与平面 z=h(h>0)所围成。 解圆面x2+y2=z2的柱坐标方程为:乙 =x2+y +y2=h2
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平面z=h(仍>0)的柱面坐标方程为:z=为 区城2在x@y面上投影区城为:x2+y2≤2 是2+yw=ap他-哥的 解6计性到∬:公+少,其中Q是由球面x2+少2+2=2与曲面 z=x2+y2所围成。 解x2+y2+z2=2的姓面坐标方程为:2=2-P 曲面2=x2+y2的柱面坐标方程为:2=02 2+y2+z2=2 2=x2+y2 (x2+y22+(x2+y2)-2=0, x2+y2=1 即(x2+y2+2(2+y2-1)=0,得投影曲线: x2+y2=1 z=0 0e+=小ago= 105 3.利佣球面唑标计三重积分 空间一点M可用右图所示r,2,日来确定。 空间一点M分(r,2,日) M(x,z) (r,g,日)叫做点M的球面坐标 「x=rsin cos8 0≤”<+00 0 y=rsin sin0,其中0≤8≤2n /y) z=rcoso 0≤z≤万 x 球面坐标系中三组坐标面为:
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r=方:它是原点为中心的球面(从U几何上看很明显) 日=日。:过z轴且极角为品的半平面. =%:以原点为顶点z袖为轴、张角为%的圆推面 (z2=tam2%(x2+y2) 点M也可看作是半径为r的球面,极角为日的半平面,张角为g©的圆推面相胶而得的 点。 下面把川f(x,y,z)dy化为球面坐标形式. 在球面坐标系中,用一族同心的球面:?=常数:一族同心的圆锥面:=常数(不 同张角):一族有公共边的半平面划份区域2,把区城2划分成很多小区城,考虑典型 小区域,它可以看作由半径为r和r+dr的球面,张角为和十d,极角为日和 日+d8的衅平面所围成.可以把它看成-个小长方体,其三边长为 r,drsin o8这样, d 体积元素: dy =r'sin, 于是 03 ∬,y,2d r=sing r sin ode =∬8,rmpm8rcos网r'd0 如果0:月≤日≤月,头≤p≤吗,h(日,例≤r≤乃(日,例,则有下列计算 公式 ∬fx,a -dq可aorm9coe8rmpa82a做 注确定日,2,r的上、下限的方法:在积分区城2内任取一点M,OM=r,观察
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日,2,r的变化范围即可, 例7计性]∬公2+少2+2),其中2是由球面x2+)y2+2=R2与圆推面 2=√公2+y所围成 解x2+y2+z2=R2的球坐标方程为:r=及 2=P+了的糊坐标方程为:P=子 =2+y 0052,0s950rR ∬x2+y2+z=dido细=R2-2 如积分区城为第一卦限部分,如何安掩积分限? 例8计∬,其中是由球面+少+22=a r+y2+22=62a<)与圈雅面 2=√公2+y2所围成的空间区城在第一封限部分. 解x2+y2+z2=a2的球面坐标方程为r=a X2+y2+z2=2的球面坐标方程为r=b :=P+了程才能为和:晋 0≤9≤50≤ms开asr≤b 咖-月9脑-0'-. 0计算∬x20,其中0:x2+y2+2≤22 解x2+y2+z2=2z的球面坐标方程为r=2c0s9 0≤0s2m,0≤ps5.0≤r≤2co80 ∬a-小"fdra2co2grm咖-音
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