《高等数学》课程授课教案（讲义）第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质

第十一章无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 第十一章无穷级羚 第一节常数项的概含和性质 一、常数项额数的名 1.常教项级数的定义 宽文1给定数别，}则表达式艺，=+，+人+丛，十 叫做（常数项）无穷领数〔简称越数)，其中第项叫做级 豆，的线：附酒=，+从+，空， 2.级数收敛与发散的定义 定双：对于给定银数之， (1)如果其每分和数列（⊙，）有极限8，即8=织，则称领数立4，收敛， （2)如果如5，不存在，则阶级数∑弘，发散 注1°只有收的级数才有和 2”如领数山，收黛，设其和为8，则 =一，=1十山2+A叫做级数的余项 例1讨论（等比级数或几何级数） 宫o时-a+ag+ag2+A+agha0a

1 第十一章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质

解当g≠1时，器分和8，=a+ag+ag2+A+ag时=a-ag 1-9 当g1时，m8,=o0: 当g=1时，8=a,期品=0. 当g=-1时，原级数或为 a-a+a-a+，把,不存在. 社国：岁宫o时1k1时，自11时。 1 :@1223h十m+Dh的鞋 整酚a=古清+动+ 1 因为n5:=1, 所以原级数收敛。 阳发2空社片h+片h的 解〔用反证法证明调和纹数发散) 如果调和级数收敛，则n5=职52a=6,于是（⊙2-）=0，但是 +安+安月 1 与职（⑤一6，）=0矛盾.所以调和级数发散. 二、无穷数的性质 2

2

1当数去0时，字，宫，具有阳， 且诺要字，收金于和8，奥版空4收做于和松 空如=宫 生：加空，宫颜皇，则数字仙，士）也效， 2aw2,+2 脸加果产，中宫，-个堂-个发，字化，士w)必发数。 崔如空，与空老，题空，士w)不- 性质3去拉、增加或改变级数的有限项不改变级数的敛数性. 性质4对收敛级数的项任意加括号后所成的新数仍收敛，且其和不变， 推论〔逆否定理)如果括号后所成的知数发散，B么原数也发散， 注意：如果加括号后所成的须数收敛，那么不能断定去括号后，原级数也收效 反例：级数1-1+1-1+A+1-1+A 例4判断领数 方石本高h+点h性 解考虑加括号后所成的奶数 1 11 11 后++高+ 11 酚6=（石尼本高本M+司

3

由前面调和级数发散知5，发敢，所似原级数发散 三、级数收的必要条件 定理收的金美件)老字，收，则虫=0。 推论若n“,≠0，或m山，不存在，则领数∑山，发散 在织女=0只是要字，收的心夏件，不礼无件 即当细4，=0时，级数之4，不一定收效。 例5判定下列数的效散性： w2隔：a2j:2-r ”ag-品-0 a)Bw4=只(a厂-0，原， (3)固为照4=把220，所似照-027*0， 从而原锁数发散。 注照4，≠0台im(-)'4≠0

4