《高等数学》课程授课教案（讲义）第十二章 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数

第十一章无穷级数 第四节函数展开成幂级数 第四节函数展开成幂须数 一、泰利级数 1.泰级数的会 定义】设函数f(x)在点某邻城内具有任意阶导数，则称隔级数 g型- 为f付在=石处的表数.特地，称福数宁0为了的 马克劳林绒数。 2.函数可以展开诚泰然数与函数的泰勒屁开方式的相念 定义2如果函数f(x)的泰勤级数在点x的某邻城内收敛于(x),则称(x) 在x=6处可屁开成表数，并称等式f闲=乞（红-八为 函数f(x)在x=x处的泰展式 3.函数可以展开成泰级数的条件 定理】设函数寸(x)在点x某邻域内具有任意阶导数，则 寸(x)在x处可以展开成泰勤级数仁→mR()=0， 其中风网=9-为Q的你季法溪。 4.函数的须数展开式的一性 定理2如果f(x)能展开成(x一)的幂领数，则此幂领数必为f(x)在x=处的 注定理2表明函数的幂级数展开式是一的】 （证明)

1 第十一章 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数

二、函数展开成器级数 1.基本展开式 1)1 8× (-10 2.直接展开法（略） 3,问接展开法 〔1)代凯法 （2)分析运法 （3)四运法 例将下列数展开成(x一)的幂级数 （1)in2x,x=0:2)2*,x=0:

2

(3)1n(1+x),0=1: （0x中26=2（5)3%=2： (6)arctanx,: 》7+2x+3%=1:c8)a+0,6=1 1 ”ww:含时 （-0<x<+o) 所似sin2x=1-cos2x)= -2含 -(-0<x<+o) (2n)1 翻-站 (-00<x<+o0), 阳-含 (-o<x<+m) c3)图为a1+刘=2（←” 8-0 +1 (1<x≤1)， asn*对=a2+-i=n2f+号en2+nf+） (-1<x≤3). wa2-1<x0

3

@2-百2r -宫-y2s10 a时2-r9v学0w. -(到（2-) -2-0-3”2-”-30<<0 c6助中-2-ta1cx<0, +2-ey-宫-10， 所似 m品如-@-2炉需 (-1≤x≤1). -2-a1x0, 所似

4

1 1+2x+3 1 1 1-111 22+3+-211 2v2信-w 1<x<3). 80+对-空y治 (-1<x≤1)， 所以ln(x2+x)=lnx+ln(1+x)=ln[1+(x-1)]+ln[2+(x-1] =h2+hl+g-i明+h[l+ n+1 =宫0+-0a0

5

1 12+2x+3 di号 1-111 -v》2-女- 1<x<3) o防a+对-含 (-1<x≤1) 所以ln(x2+x)=lnx+1n(1+x)=ln[1+(x-)]+ln[2+(x-1] =b2+a+-明+n[+ +1 6

6