《偏微分方程》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 波动方程

第一章波动方程 §1方程的导出、定解条件 §2达朗贝尔公式、波的传播 §3初边值问题的分离变量法 §4高维波动方程的柯西问题 §5波的传播与衰减 §6能量不等式，波动方程解的唯一 性和稳定性

§1 方程的导出、定解条件 第一章 波动方程 §2 达朗贝尔公式、波的传播 §3 初边值问题的分离变量法 §4 高维波动方程的柯西问题 §5 波的传播与衰减 §6 能量不等式，波动方程解的唯一 性和稳定性

波动方程或称波方程（英语：wave equations)由麦克斯 韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种 重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括 横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电 磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和 拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程 理论作出过重要贡献。 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'A1 embert)等人首先 系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表

或称波方程（英语：wave equations）由麦克斯 韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种 重要的偏微分方程 ，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括 横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电 磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和 拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程 理论作出过重要贡献。 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'Alembert）等人首先 系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。 波动方程

根据波动方程的建模，一个脉 冲在一根固定两端的绳子上的 运动 从一个点源发散出的球面波

根据波动方程的建模，一个脉 冲在一根固定两端的绳子上的 运动 从一个点源发散出的球面波

§1方程的导出、定解条件 20:58 1、弦振动方程的导出 问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦，其长为 1,在外力的作用下在平衡位置附近作微小的横振 动，求弦上各点的运动规律

20:58 1、弦振动方程的导出 问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦，其长为 l，在外力的作用下在平衡位置附近作微小的横振 动，求弦上各点的运动规律。 §1 方程的导出、定解条件 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 基本假设： (1)弦是拉紧均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可忽 略： D (线)密度是常数； <1 tan a (2)弦在某一平面内作微小振动： (3)弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲：弦上各质点间 的 张力方向与弦的切线方向一致，且弦的伸长形变与张 力 的关系满足胡克定律

（1）弦是拉紧均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可忽 略： （线）密度 是常数； （2）弦在某一平面内作微小振动： （3）弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲：弦上各质点间 的 张力方向与弦的切线方向一致，且弦的伸长形变与张 力 的关系满足胡克定律。        =      1 tan x u x u 基本假设： §1 方程的导出、定解条件 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 基本关系： 在每一个时间段内： 作用在物体上的冲量三该物体的动量变化(*) (1)考虑弦不受外力的作用，建立坐标系 T(x+△) x+△ T(x) 合

在每一个时间段内： 作用在物体上的冲量 = 该物体的动量变化（*） （1）考虑弦不受外力的作用，建立坐标系 基本关系： §1 方程的导出、定解条件 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 (x,t)表示弦上各点垂直于x方向f时刻的位移。在弦上 任 (x,x+△x) (t,t+△t) 取一段弦 ，考虑在时间锻T(x+出的运动规 律。可证明：张力与时间无关，期漫 因为 As=+(dAx

表示弦上各点垂直于 方向 时刻的位移。在弦上 任 取一段弦 ，考虑在时间段 中的运动规 律。可证明：张力与时间无关，即设 , ， 因为 u(x,t) x t (x, x + x) (t,t + t) T (x) T ( x + x) dx x x u s x x x      = +  + 2 1 ( ) §1 方程的导出、定解条件 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 T(x)的方向总是沿着x点处的切线方向，在x点处作用 于(x,x+△x)上的张力的两个分力： -T(x)cosa,-T(x)sin a 在x+△x点处作用于(x,x+△x)上的张力的两个分力： T(x+△x)cos2,T(x+△x)sina2

的方向总是沿着 点处的切线方向，在 点处作用 于 上的张力的两个分力： T(x) x (x, x + x) 1 1 −T(x)cos ,−T(x)sin  在 x + x 点处作用于 (x, x + x) 上的张力的两个分力： 2 2 T(x +x)cos ,T(x +x)sin §1 方程的导出、定解条件 x 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 从而在时间段t,t+△t)中该合力产生的冲量： ou(x+Ax,t) au(x,D dt Ox Ex 从时刻t到t+△t,弦段x,x+△x)的动量增量为： Ou(x,t+At)_Bu(x,t ds 8t

从而在时间段 (t,t + t) 中该合力产生的冲量： dt x u x t x u x x t T t t t +         −   ( +  , ) ( , ) 从时刻 t 到 t + t ，弦段 (x, x + x) 的动量增量为： dx t u x t t x x u x t t x +         −   ( , +  ) ( , )  §1 方程的导出、定解条件 20:58

§1方程的导出、定解条件 20:58 水平方向合力为0：即T(x+△x)cos42-T(x)cos%,=0 1 1 c0S01= ≈1C0S02= ≈1 Ou(x,1) Ou(x+△x) T(x+△x)=T(x)=T(常数) 垂直方向的合力： Tm2-Tsm4÷Tm4-Tm- au(x+Ar,）_au(x,) &x 8x

水平方向合力为0：即 (常数) ( )cos ( )cos 0 T x +x 2 −T x 1 = 1 ( , ) 1 1 cos 1 2          + = x u x t  1 ( ) 1 1 cos 2 2          +  + = x u x x  T(x + x) = T(x) = T         −   +  −  − = x u x t x u x x t T T T T T ( , ) ( , ) sin sin tan tan  2 1  2 1 垂直方向的合力： §1 方程的导出、定解条件 20:58