《高等数学》课程教学课件（讲稿）正弦函数的性质

数学（二） 第四章：三角函数

三角函数 数学（二） 第四章：三角函数

第十讲： 正弦函数的性质 主讲人：黄发英

三角函数 第十讲： 正弦函数的性质 主讲人：黄发英

三角函数 引言 利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢 ? y=sinc sina.cosa) 2π 3π 4TT Z -2π

三角函数 利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢 ？ 引言

三角函数 1.正弦函数的性质 y=sinc,x∈R -5π/2 2-3/2 -π/2 π/2 3m/2 5m/2 7m/2 4π 9π/25 (1)定义域. 正弦函数的定义域是实数集R

三角函数 1.正弦函数的性质 (1)定义域. 正弦函数的定义域是实数集R

三角函数 y=sinc,x∈R -5m/2 2π-3π/2 -π/2 π/2 3π/2 2π 5m/2 7π/2 π 9π/25πC (2)值域. 当x=+2kπ(k∈2Z)时，y取最大值，ymax=1; 当x=-乏+2kπ(k∈Z)时，y取最小值，ymin=-1;

三角函数 (2) 值域

三角函数 y y=sinc,x∈R 1 -5m/2 2π-3/2 -π/2 π/2 3m/2 2π5m/2 3 7π/2 4π9π/25mC (3)周期性. 正弦函数是周期为2π的周期函数

三角函数 (3) 周期性. 正弦函数是周期为2π的周期函数．

三角函数 y=sinc,x∈R -5m/2 2mπ-3n/2 -π/2 π/2 3π/2 2π 5m/2 7m/2 4π 9π/25πC (4)奇偶性. 由图像关于原点对称和诱导公式sin(-x)=一sinx可知， 正弦函数是奇函数

三角函数 (4) 奇偶性

三角函数 y=sinc,x∈Ry -5π/2 2π-3m/2 -π2 π/2 3π/2 2π5π/23t 7m/2 4π9π/25n (4)单调性. -2 在每-个闭区间[-+2kπ，受+2km.(k∈Z)上都是增函数， 函数值从-1增大到1： 在每-个闭区间臣+2km,受+2km].(kEZ)上都是减函数 函数值从1减小到-1

三角函数 (4) 单调性

三角函数 举例 例1求下列函数的最大值和最小值，并写出取得 最大值、最小值时自变量x的集合. (1)y= 3sinx,xeR; (2)y=1-2sinx,xER 解 (1)由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，所以 2≤2r y ≤2 33 2 3 当x=号+2kr(k∈z)时，y. 3 /2 n T 当x=-2+2kπ(k∈Z)时，ymin=- 2 3 -1 y= 3

三角函数 举例 解 − ᵽ ᵽ ≤ ᵽ ᵽ ᵉᵈᵈᵉ ≤ ᵽ ᵽ ， ᵉ ᵈᵈᵉ = ᵽ ᵽ

三角函数 解 (2)由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，所以 -2≤2i7r≤2， 2≥-2x≥-2，与sinx取最值相反 1+2≥1-27x≥1-2， 3≥1-2x≥-1， 93 当x=+2kπ(k∈Z)时，ymin=-1, y =1-2sina 当x=-+2kπ(k∈Z)时，ymax=3. -/2 0 n/2

三角函数 解 − ᵽ ≤ ᵽ ᵉᵈᵈᵉ ≤ ᵽ ， ᵽ ≥ − ᵽ ᵉᵈᵈᵉ ≥ − ᵽ ， ᵼ + ᵽ ≥ ᵼ − ᵽ ᵉᵈᵈᵉ ≥ ᵼ − ᵽ ， ᵽ ≥ ᵼ − ᵽ ᵉᵈᵈᵉ ≥ − ᵼ