《高等数学》课程授课教案（讲义）第九章 多元函数微分法 第四节 多元复合函数的求导法则

第八章多元函数微分法 第四节多元复合函数的求导法则 情形1复合函数的中间变量均为一元函数的情形： 设z=f(私，以，9)具有连续偏导数，弘=g以)，v=(x),9=(x)都可导 ,则复合z=f(mx,叭x),@(x》也可导，且全导漫为 在色在血加 dx d dx th dx th dx 1设z=w+mu=e,v=c091,求五 =e'cost-e'sint+cost 能Ⅱ复合函数的中间变量均为多元函数的情形： 设2=f(u,)且有连续偏导数，4=网x,y)、V=(x,)的偏导数都存在，+ 则度合函数z=f((x,y),(x,y》的偏导数都存在，且 y :=m出==+y,*密容 ”是-密+实mywv2x 2。z+=nvx+cosv.1 售形如复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形：· 设z=(,y,m)且有连偏导数，u=风x,y)）的偏导数都存在，=g,p=0) 都可导，则复合函数2=f(x,y,g(x),h(y》的偏导数都存在，且 安影+兴会 边_过u+时 a dy oh d 收-r=+y,*空亭

1 第 八 章 多元函数微分法 第四节 多元复合函数的求导法则

解 =x-y.1h(x-)2x+u(x-y-11 8x =x-y1h(x-)2y+u-y)0 例4设w=寸（红+y+乙，0网），了具有二阶连续偏导数，求8，日p 8x'0xde 解 =+ 8x 82w 8x82 =州+(x+2）指+2效+的 下面介绍全微分的形式不变性： 设函数z=f(u,)具有连续偏导数，则有 dz= Bz du 2 如果W,V又是x,y的函数4=g(x,y)、V=八x,y),且这两个函数也具有连续偏导 数，则复合函数z=f(风x,y),八x,y)的全微分为 2_次+西 8x 8x dy 由于 de Be ou de thv Be Be ou De o ax du ox d ox dy du dy bv dy ,故代入上式，可化得： 2= edu B 由此可见，无论z是自变量以，的函数或中间变量x,y的函数，它的全微分形式是一样的。 这一性质叫做全微分的成试不变性。 例5已知z=f((x)-y,x+gy)，(x),y)可导，求d2 解2=d(0x)-y)+d(x+y)》 =((x)dx-dy)+(dx+(y)dy) 2

2