《高等数学》课程授课教案（讲义）第七章 微分方程 第七节 高阶线性微分方程

第十二章微分方程 第七节高阶线性微分方程 67高阶钱性微分方程 一、二阶钱性微分方程的定义 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)(1)一兰阶非齐次线性微分方程 y+P(xy+2()y=0（2)—二阶齐次线性微分方程 （与(1)相应的济次方程) 二、二阶钱性微分方程的性质 性质1如果函数片()与(x)是齐次线性方程(2)的两个解，则对于任意 常数C1,C2,y=C以(x)+C2乃()也是方程(2)的解 性质2如果函数乃(x)与乃2(x)是非齐次线性方程〔1)的两个解，则 y=（-(x)是相应的济次方程(2）的解 性质3设(x)是方程y+P(xy+Q(x)y=(x)6=1,2)的特解， 则(x)+y(x)就是方程y广+P(xy+Q(x)y=()+()的特解 刚如：y+y=x2的-个特解为片=x2-2； 少+y0的-个得为分 因此y+y=不+e的-个特解为少=片+巧=不2-2+e产 三、二阶钱性线分方程解的结构 定理1〔二阶济齐衣线性微分方君通结构定理)如果函数乃1(x)与少2(x) 是齐线性方程(2)的个线性无关的特解（即为（园数，则 (x) y=Cy(x)+C2为2(x)就是方程(2)的通解 例如：方程y“+y=0有两个特解()=cosx,y2()=x,故通解为 y=ccos x+ca sin x

1 第十二章 微分方程 第七节 高阶线性微分方程

定理2〔二阶丰齐次线性拉微分方程通解结构定理) 设y(x)是非齐次线性方程(1)的一个特解，Y(x)是与(1)相应的时 次方程(2)的通解，则y=Y(x)+y(x)为方程(1)的通解。 例如：y"+y=x2的一个特解为y=x2-2, y"+y=0的通解为Y=C1cosx+c2mx, 故y"+y=x2的i通解为y=C1cosx+C2mx+x2-2

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