《高等数学》课程授课教案（讲义）第四章 不定积分 第二节 换元积分法

第四章不定积分 第三市袋笑法 3引例∫cosxdx=inx+C,但∫cos2xdx≠in2x+C, Jcos2xdx-sin 2x+c 事实上.jcos2xdx引codu+C=号nu+C=2m2x+C. 一报地，若∫f(x)dx=F(x)+C,则 Jgdr44对J/d=F6+Ca+c 例1(1) Jcos(2x+3 dx=cos(2x+3)d(2x+3)=sin(2x+3)+C. a3-340+90p+刘+c. (3)j-2xdx=-20-22d0-2)=-1-2x'+c. [(ax+b+bd(x)(+. 例2t1)Jxe"dx=引。dx=e'+c 注： xdx=Idx)

1 第 四 章 不定积分 第二节 换元积分法

(2)}ndx=-m是d9=cos+c 8)=引=a+c 1F+d=+-+同=2ami+c 5-dx=-a-a-)=-+c. 搬地.t二)/)xdx=Jfd产)=F(x+C. 创3(1)fcoslnxdx=∫co0ax)=inmx)+C.注： 史=0动 a器9=atc o产aac. 1 Ja+2a可4x=引a+2n可40+2h动=2h+2ac. 搬地（三）jf0nx)dx可f习d0a)=Fax)+C

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Jf(alnx+b)1dx=IJf(alnx+b)d(alnx+b)=1F(alnx+b)+C 4j品5：4=-器=-aaeo对+c 2 jawxdx-j小m6ae-0dx=jwxd+gog29 =2cam对2+-incos+c 3 [sec'xdx-[sec'xsecixdx-[(an'x+1)d(tanx)-tanx+tanx+C. ∫tam'xdx=∫tam2x(sec2x-)dx=∫tan2 xd(tanx)-(sec2x-Ddx =tan3 x-tan x+x+C ∫小m2xco时h-mx0-m2加mx=号m3x-m5x+C. d(sin2x) o:=a2aow2*o

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最地（四）f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx)=F(sinx)+C. f(cosx)sinxdx=-f(cosx)d(cosx)=-F(cosx)+C. ∫f(tanx)sec2xdx=∫f(tan)dtan)=Ftan)+C. [f(cotx)csc2xdx=-[f(cotx)d(cotx)=-F(cotx)+C. f(secx)tan xsecxdx=Jf(secx)d(sec x)=F(secx)+C. f(cscx)cotxcscxdx=-ff(cscx)d(cscx)=-F(cscx)+C f(sin2x)sin2xdx=[f(sin2x)d(sin2x)=F(sin2x)+C. [f(cos2x)sin2xdx=-[f(cos2x)d(cos2x)=-F(cos2x)+C. 5 1 |rn可如ca功-+c. 1 1 2

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-产学d=0-ccoa对d0-cos功=20-cos对+C ∫要dx=小ecw对dacn)=子aem对+c. 4 a+7reot云d=-对=-(cot功+C, 五 J/24z-(nd=动Rean对+c. |gdx=-(o功d6cos功=-P6cos功+c. J2-动=Racm+c J2d=-/0对d6erc动-R6mct动+c。 ☆-房940 av。d=。+2d=六n+c

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()cnc 小adx-a=-9-ko小c。 (Jcotd sinx dx-4x-J4r-小-axem0-∫mxan0 =一n儡c=如温C=ec+m+c (4)[csex dx-mnlcscx-cotxl+c 1cxtC 2 (2) Jowxdx-j-e2ddx-小}-os2x+e2对d =j日-cos2x+0+eos4xx=原-os2x+号cos4]d =爱x-}an2x+0m4x+C c 6

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2 g4x=-4=-o+0=-ae+0+c nc曲骑d=可a对或h对=+c. 1-inx (3)0品4x-血对-2am+c 《w后器-管hac j区中dx=jm+7ai+元)=-inco+7+c, V1+x2 6 ,d原y jJ/L对dx以]兰Jfd=R+C=+C 7

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一 JfxJfWWd-Jg@dt-Q@)+c-a+c 注1”第二类换元积分法的思想方法： 难积了(#也易积f心)0d ↓积出 F(o(x》+C←®-F0+C 2”由于变量还原时，要求x=()具有反函数t=的(x),因此，要求 x=网)单调、可导，且p)≠0. 3第一类换元法与第二类换元法的异同： 相同之处：均可分解为”换元 一代回”三个步 不同之处：(1)第一类换元法可省鸭变量代换的具体过程，简化为“凑微分 法”，而第二类换元法通常不能简化. (2)代换形式不同，第一类：令网x)=4第二类：令x=) 1.三角代换 适用情战被积还数含有√&士子或R一a. 代热目的去掉根式

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代热形过若被积函数含有√a-天则可令x=asin或x=aco3t: 若被积函数含有√a+不则可令x=atam或x=acoti 若被积函数含有√R-a则可令x=asect或x=acsct, ds (acod=a1tco2 d 2 =传+n2+c =mm臣6-+c 例2 (a>0) =In lsect+tan+C g中e 例3 9

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1a>0a:ma-j -whisidG -Ix+vx-a+C 2.创代换 适用情形被积函数的分母中含有变量因子x, 代换目的去掉分母中含有变量因子x, 当 x>1 时 0<t<1 =F+c+c .R+c: 当x<-1时 -1<t<0

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