《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第七节 无穷小的比较

第一章极限与连续 第七节无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积都得无穷小，但是它们的商呢？不一定，例如 当x→0时，a(x)=3x,(x)=x2,(x)=mx为无穷小， 器器器0 无穷小之比的极限的不同情祝，反映了不可无穷小趋于0的速度是有快有慢 的， a(x)→0比(x)→0“慢 a()→0与x)→0，“相仿 (x)→0比(x)→0“快” 我们用两个无穷小之比的极限，来比较它们趋于零的快慢，这就是数学上 阶的概 定义设及B均，是自变量同一变化过程中的无穷小，且≠0， 如果m已0，就说8是比a阶的无穷小，记作日=ola: 如果n =00,就说6是比飞低阶的无穷小： 如果m=c≠0，就说是比a同的无药小： 如果m =c0,就说日是关于Q的k阶的无穷小： 如果m-1，就说与a是等无商小，记作a· 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，即c=1的情形

1 第 一 章 极限与连续 第七节 无穷小的比较

,:x→0时，1-co3x与x2同阶但不等阶 要注意的，是，无小的比较必须妻标明它们的支化过程。只有在相同的支化 过程下，无穷小才可以比较。关于等价无穷小，有以下定理， 定理】B与&是等价无穷小的充分必要条件为B=&+o() 证必设u月，则m-m(-1)=m 因此，-a=o(a,即6=a+o(a 充维设B=金+0(e,则一是-a+e@:点 1+@)=1, 因此，aU6. M:园为当x→0，通x通~无c面~-6o~, 所以当x→0时，有 )(c().-co=( 定&设a,且号在，则m 此定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可用等价无穷小来 2

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代苦。定理2如果运用得当，可简化求极限的运算，但要注意的是，在代若的过程 中，必须是分子或分母乘积的因子才能用其等价无穷小替代。 为解恶方便，下列结论可直接使用 x→0 x~sin x~tan x~arcsin x~arctan x In(1+)~e-1 二 解当x→0时，tn2xU2x,sin5xU5x,所似 照妈荟号 当x→0时，mxu2x,c0x-1u-号，所烈 4x2 =-8. 1x2 附g二=码子位分子不物-）

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