《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）极限与连续 1.2 数列的极限

第二节 数列的极限 数列的定义 、 数列的极限 三、数列极限的四则运算 四、无穷递缩等比数列的求和公式 五、小结 合

第二节 数列的极限 一、数列的定义 二、数列的极限 三、数列极限的四则运算 四、无穷递缩等比数列的求和公式 五、小结

极限概念前言 极限概念是微积分中最基本的概念，这个概念贯穿 着整个数学分析，并在数学的其他领域中起重要作 用。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限 的概念和运算很重要。 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生 的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是 经常店到， 这就是它在变化的过程中逐步趋向于相 对稳的状态，也就是说在变化的过程中无限的接 角定的常数

极限概念是微积分中最基本的概念，这个概念贯穿 着整个数学分析，并在数学的其他领域中起重要作 用。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限 的概念和运算很重要。 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生 的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是 经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相 对稳定的状态，也就是说在变化的过程中无限的接 近于某一确定的常数。 极限概念前言

1984年公金多姆13.20 1988年，金多姆12.98 1996年，约翰逊12.95 2004年，刘翔12.91 2006年，刘翔12.88 2008年，罗伯斯12.87 2012年海里特 12.80 A 作米 ✉合

1984年，金多姆 13.20 1988年，金多姆 12.98 2004年，刘 翔 12.91 1996年，约翰逊 12.95 2008年，罗伯斯 12.87 2006年，刘 翔 12.88 2012年，梅里特 12.80 A

数列的定义 定义：按自然数1,2,3，.编号依次排列的一列数 X13X23.)Xn). (1) 称为无穷数列，简称数列.其中的每个数称为数 列的项，xn称为通项一般项)数列(1)记为xn}. 例加 2,4,8,.,2", {2"} 1111 4'8

定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn , (1) 称 为无穷数列,简 称数 列.其中的每个数称为数 列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{ }n x . 例如 2,4,8,  ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1  n  {2 } n } 2 1 { n 一、数列的定义

1,-1,1,（-1)+,{-1)"-9 14 223 +,a+0 n 数列的分类： 有穷数列和无穷数列；递增数列和递减数列； ”数列和无界数列，另外还有摆动数列和常数列 ✉合

1, 1,1, ,( 1) , ; −  − n+1  {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1   n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 数列的分类： 有穷数列和无穷数列；递增数列和递减数列； 有界数列和无界数列，另外还有摆动数列和常数列

等差数列的通项公式：an=a1+(n-l)d 等差数列的前几项和公式： -aa）=m+-d 2 等比数列的通项公式an=a,g”- 题列的前n项和公式：S,=41-g)(g≠1) 1-q

等差数列的通项公式： an = a1 + (n −1)d 等比数列的通项公式: 1 1 − = n an a q n d n na n a a S n n ( 1) 2 2 ( ) 1 1 = + − + = ( 1) 1 (1 ) 1  − − = q q a q S n n 等差数列的前 n 项和公式： 等比数列的前 n 项和公式:

“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰，第一次去其一半第二次再去所余 之半，如此分割下去问：最后剩下多少？ 解：011 8 4 2 把剩下排列起来：

之半，如此分割下去问： 最后剩下多少？ 解： 0 1 2 1 4 1 8 1 把剩下排列起来： 2 1 2 2 1 3 2 1  n 2 1  第一次去其一半，第二次再去所余 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 一尺之棰， 0

观察数列I+)二}当A→0时的变化趋势 n 1.75 1.5 1.25 0.75 0.5 0.259 0 2 10 12 播放

} . ( 1) {1 1 观察数列 当 →  时的变化趋势 − + − n n n 播放

定义如果当n无限增大时，数列{x}无限接近 于一个确定的常数a,那么a就叫做数列{xn}当n 趋向无穷大时的极限，或者称数列x,收敛于α，记 为 limx=a,或xn→a(n→o). 10o =0; lim n+(-1)=1 n->oo n 米 ✉合

定义 如果当 n 无限增大时，数列{ n x }无限接近 于一个确定的常数a,那么a就叫做数列{ n x }当 n 趋向无穷大时的极限,或者称数列 n x 收敛于a ,记 为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n 1 ( 1) 0; lim 2 1 lim 1 = + − = − → → n n n n n n 例如

观察下列数列的变化趋势， 写出它们的极限： (0)x,=;(2x=2-:6x=(-)30(4)x,=-3 n 解 (1)lim x=lim n-→wn 2mx= n-→0 。1 ixn=lim(-l) n-→o 32 =0, xm=lim(-3)=-3. 人米 ✉囧

例1 观察下列数列的变化趋势， 写出它们的极限： ; 1 (1) n xn = ; 1 (2) 2 2 n xn = − ; 3 1 (3) ( 1) n n n x = − (4) = −3. n x 0; 1 1 lim = lim = → → n x n n n （） ) 2; 1 2 lim lim (2 2 = − = → → n x n n n （ ） 0; 3 1 3 lim = lim (−1) = → → n n n n n （ ） x 4 lim = lim (−3) = −3. → n→ n n （ ） x 解