《高等代数》课程教学资源（参考资料）二次型简史

二次型 二次型也称为“二次形式”，数域P上的n元二次齐次多项式称为数域P上 的元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习 这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是 从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将 二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形 状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标 准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简 成标准型时为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题， 他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新 发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、 半正定和半负定等术语。 二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程 的概念隐含地出现在欧拉的著作中拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中 首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇 特U-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的。 柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特 征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数的两个二 次型能用同一个线性变换同时化成平方和

二 次 型 二次型也称为“二次形式”，数域 P 上的 n 元二次齐次多项式称为数域 P 上 的 n 元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习， 这 里 对于 二次 型的 发 展历 史我 们也 作简 单介 绍 。二 次型 的系 统研 究 是 从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将 二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形 状，这个问题是在 18 世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标 准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简 成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题， 他给出了 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新 发现和证明。 1801 年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、 半正定和半负定等术语。 二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程 的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中 首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇 特 (J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。 柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特 征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了 个变数的两个二 次型能用同一个线性变换同时化成平方和

1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考 虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不 变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这 一结论。 1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的 方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简 也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性 型

1851 年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考 虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不 变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这 一结论。 1858 年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的 方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简 也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性 型