新疆大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 微积分的基础和研究对象 2.2 极限的性质与运算

第2章微积分的直接基础， 函数 §2.1数列极限与函数极限 §2.2极限的性质与运算 §2.3连续函数

第2章微积分的直接基础—— 函数 §2.1 数列极限与函数极限 §2.2 极限的性质与运算 §2.3 连续函数

§2.2极限的性质与运算 1.函数极限的性质 下面仅对x→x的变化过程讨论函数极限的性质， 对x→o的情形有类似结论 定理1若imf(x)=A,且A>0(或A0(或f(x)0(或f(x)<0), 称该定理为局部保号性定理 0-6 0+6

§2.2 极限的性质与运算 1.函数极限的性质 0 . x x x → →  下面仅对 的变化过程讨论函数极限的性质， 对 的情形有类似结论 0 0 ( , ), ( ) 0( ( ) 0), . x U x f x f x     由于在 恒有 或 称该定理为局部保号性定理 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , 0( 0), ( , ), ( , ) ( ) 0( ( ) 0). x x f x A A A x U x x U x f x f x   →     =  若 且 或 则存 在点 某邻域 对一 定理1 切 ， 恒有 或

§2.2极限的性质与运算 1.函数极限的性质 定理2若f(x)≥0，且Iimf(x)=A,那么A≥0. →X0 要注意的是，若f(x)>0,limf(x)=A, 那么A≥0. 比如，当x≠1时，函数f(x)=(x-1)2>0,但lim(x-1)2=0. 推论若f(x)≤g(x),且1Iimf(x)=A,Iimg(x)=B, 那么A≤B

§2.2 极限的性质与运算 0 ( ) 0 lim ( ) 0. x x f x f x A A → 定理2 若  =  ，且 ，那么 0 ( ) 0 lim ( ) 0. x x f x f x A A →  =  要注意的是，若 ， ， 那么 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x f x g x f x A g x B A B → →  = =  若 ，且 ， ， 那么 推论 2 2 1 1 ( ) ( 1) 0 lim( 1) 0. x x f x x x → 比如，当  = − − 时,函数  ，但 = 1.函数极限的性质

§2.2极限的性质与运算 2.无穷大量与无穷小量 (1)无穷大量 定义：若在某个极限变化过程(x→x,或→o)中， 函数f(x)的绝对值f(x)的极限是无穷大，记作 f(x)→o.称f(x)为无穷大量，或无穷大. 注：无穷大是变量，并不是非常大的有限数 “严-+心，函数)=在→时是无穷大量

§2.2 极限的性质与运算 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . x x x f x f x f x f x → →  →  定义：若在某个极限变化过程( 或 )中， 函数 的绝对值 的极限是无穷大，记作 .称 为无穷大量，或无穷大 1 1 lim , ( ) 2 2 x x x f x x →− = +  = → − 函数 在 时是无穷大量. (1) 无穷大量 注:无穷大是变量,并不是非常大的有限数. 2.无穷大量与无穷小量 (1) 无穷大量

§2.2极限的性质与运算 问题：函数f(x)=在x→+∞还是无穷大量吗？ 2 :m=0,x→+o,2不是无穷大量

§2.2 极限的性质与运算 1 1 lim 0 2 2 x x x x →  =  →  + ， + ， 不是无穷大量. 1 ( ) 2 + x 问题：函数f x = 在x → 还是无穷大量吗？

§2.2极限的性质与运算 说明 (1)无穷大是变量，不是非常大的有限数 (2)1 函数是否是无穷大，与自变量的变化过程有关 (3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必 是无穷大 例如：f(x)=xc0sx(x→∞) 是无界变量，但不是无穷大量

§2.2 极限的性质与运算 说明 （1）无穷大是变量,不是非常大的有限数. （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必 是无穷大. : ( ) cos ( ) , . 例如 f x x x x = →  是无界变量 但不是无穷大量 （2）函数是否是无穷大，与自变量的变化过程有关

§2.2极限的性质与运算 2.无穷大量与无穷小量 (2)无穷小量 定义：若在某个变化过程中，函数f(x)以零为极限， 则称f(x)为该过程中的无穷小量，简称无穷小. 即：以零为极限的变量为无穷小量， .lim=0， x→+o时是无穷小. 2 345

§2.2 极限的性质与运算 ( ) ( ) f x f x 若在某个变化过程中，函数 以零为极限， 则称 为该过程中的无穷小量，简称 定义： 无穷小. 即：以零为极限的变量为无穷小量. 2.无穷大量与无穷小量 (2) 无穷小量 1 lim 0 1 2 2 x x x x →   = →  + ， + 时 是无穷小

§2.2极限的性质与运算 limsinx=0,∴.当x→0时，函数sinx是无穷小. x->0 ".lim二=0， x-→0X 函数二是当x→o时的无穷小. X 注：数列作为函数的特例，也有无穷大和无穷小. 例如n→o时，2n是无穷大，是无穷小 lim-=0 n-→on

§2.2 极限的性质与运算 0 limsin 0, x x → =  → 当x x 0 sin 时，函数 是无穷小. 1 lim 0, x→ x = 1 x x  →  函数 是当 时的无穷小. x y 1 = o x y x y 1 = 1 n n2 . n →  数列作为函数的特例，也有无穷大和无穷小. 例如 时， 是无穷大， 注 是无穷小 ： 1 lim 0 n→ n =

§2.2极限的性质与运算 说明 ()无穷小是变量，不能与很小的数混淆. (2)函数是否为无穷小量，与自变量的变化过程有关. (3)常量0符合无穷小的定义，0既是常数又是无穷小量. 变量、极限与无穷小量的关系定理 定理 lim f(x)=A+f(x)=4+a(x), 其中a(x)→0心→x):

§2.2 极限的性质与运算 (3)常量0符合无穷小的定义，0既是常数又是无穷小量. (1)无穷小是变量，不能与很小的数混淆. 说明 (2)函数是否为无穷小量，与自变量的变化过程有关. 变量、极限与无穷小量的关系定理 0 0 lim ( ) ( ) ( ), ( ) 0( ) x x f x A f x A x x x x → =  = + → → 其中 . 定理  

§2.2极限的性质与运算 (2)无穷小量 性质1.有限个无穷小量的代数和是无穷小量 例如：当x→0时，x与sinx都是无穷小量， 所以，当x→0时，x+sinx是无穷小量， 性质2.无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量. 例如：lim sinx)=0 X→0 无穷小量 有界变量

§2.2 极限的性质与运算 性质1. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 0 , sin , , 0 , sin x x x x x x → → + 例如：当 时 与 都是无穷小量 所以 当 时 是无穷小量. (2) 无穷小量 性质2. 无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量. sin 1 lim lim( sin ) 0 . x x x x → → x x 例如： =  =有界变量 无穷小量