新疆大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 微积分的基础和研究对象 4.2 洛必达法则

第四章导数的应用问题 4.1中值定理 4.2洛必达法则 4.3函数的单调性与极值

第四章 导数的应用问题 4.1 中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值

4.2洛必达法则 两个基本类型不定式解法（洛必达法则） 如果当x→（或x→o)时，两个函数f(x) 与g(x)都趋于零（或都趋于无穷大，那末极限 1imf称为（或°）型不定式. 8(x) 0 00 例如， tanx lim lim →0 x→+olnx 思考：两个无穷小量的比（两个无穷大量的比）的极限是什么？ 常数C 不存在？

4.2 洛必达法则 一 . 两个基本类型不定式解法(洛必达法则) ( ) , ( ) ( ) , ( ) 0 lim . ( ) 0 x a x f x g x f x g x → →    如果当 或 时 两个函数 与 都趋于零（或都趋于无穷大）那末极限 称为 （或 ）型不定式 例如, , tan lim 0 x x x→ + 2 lim , x ln x →  x ) 0 0 ( ( )   思考：两个无穷小量的比（两个无穷大量的比）的极限是什么？ 0  常数C 不存在？

4.2洛必达法则 0 型不定式 0 定理 如果函数f(x)和g(x)满足 (1)当x→或x→o时，函数f(x)→0,8g(x)→0； (2)f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)≠0； 3)lime存在（或为无穷大； 8'(x) 则1imf=limf'(） 8(x) g'(x) 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用 洛必达法则！

4.2 洛必达法则 ( ( ) (1) , ( ) 0, ( ) 0; (2) ( ) '( ) '( ) 0; ( ) (3) lim ( ); '( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) '( ) f x g x x a x f x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x → →  → →     = 如果函数 ）和 满足 当 或 时 函数 和 都存在,且 存在 或为无穷大 则 定理 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用 洛必达法则！ 0 1. 0 型不定式

4.2洛必达法则 f(x)→0，g(x)→0 lim)=lim sinx 8(x) g'(x) 例题1 求lim x→0 解 由于满足洛必达法则的条件 原式=im (s)-lim OSx x→0 (x)' x-→0 1 =1. 例题2 求im- x3-3x+2 x1x3-x2-x+11 检查不满足 解 由于满足洛必达法则的条件 定理条件！ 原式=im、 3x2-3 6x 3 lim t→13x2-2x-1x16x-2 2

4.2 洛必达法则 例题1 解 由于满足洛必达法则的条件 0 sin lim . x x → x 求 0 (sin ) lim ( ) x x → x  =  原式 0 cos lim x 1 x → = = 1. 例题2 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 ( ) 0 0 ( 检查不满足 定理条件！ f x g x ( ) 0, ( ) 0 → → ( ) ( ) lim lim ( ) '( ) f x f x g x g x  = 解 由于满足洛必达法则的条件

4.2洛必达法则 2.”型不定式 00 定理 如果函数f(x)和g(x)满足 (①)当x→a或x→o时，函数f(x)→o,g(x)→o; (2)f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)≠0； (3)1im四存在（或为无穷大片 8'(x) 则imf9=1imf'x) g(x) g'(x) 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续 使用洛必达法则！

4.2 洛必达法则 ( ( ) (1) , ( ) , ( ) ; (2) ( ) '( ) '( ) 0; ( ) (3) lim ( ); '( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) '( ) f x g x x a x f x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x → →  →  →      = 如果函数 ）和 满足 当 或 时 函数 和 都存在,且 存在 或为无穷大 则 定理 2.   型不定式 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续 使用洛必达法则！

4.2洛必达法则 f(x)→o,g(x)-→0 lim f) )-limf(x) Inx 8(x 8'(x) 例题3 求im 解 由于满足洛必达法则的条件 1 原式=im (Inx)' 1 1 lim =二lim +xn→mx =0. 例题4 求lim e ( 还是”型，继续 0 解 由于满足洛必达法则的条件 用洛必达法则 原式=lim ( lim x2"2x lim (e)' t =十00 x+0(2x)' lim x-→+2

4.2 洛必达法则 例题3 . ln lim n x x x →+  求 ( ) ( )' ln ' lim n x x x →+  原式 = n x n x nx n x x 1 lim 1 1 lim 1 →+  − →+  = = = 0. ( )   解 由于满足洛必达法则的条件 f x g x ( ) , ( ) →  →  ( ) ( ) lim lim ( ) '( ) f x f x g x g x  = 例题4 2 lim . x x e →+ x 求 ( ) ( ) 2 ' lim ' x x e x →+ 原式 = lim 2 x x e →+ x = ( )   解 由于满足洛必达法则的条件 ( )' lim lim (2 )' 2 x x x x e e →+ →+ x = = = +   还是 型，继续 用洛必达法则

4.2洛必达法则 二. 0∞，0-0,0°，1”，0型未定式解法 关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 1.0o0型 步骤： 0.00→ ·00, 或00→0. 0 0 例题5 求5mt(了-arctanx). (0.∞) X>+00 π 1 一 arctanx 解原式=im lim 1+x2= 1 lim =lim X>+00 x-→+0 1 +∞1+x2 2二1 x-+02X x 型 00 型 0 0

4.2 洛必达法则 0 0 0 , ,0 ,1 ,  二.   −   型未定式解法 例题5 解 lim ( arctan ). x 2 x x  →+ 求 − ( 0   ) arctan 2 limx 1 x x  →+ − 原式 = 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 0 0 型   型 1. 0 型 步骤: , 1 0       . 0 1 或 0    0  2 1 - 1+x 2 2 2 2 lim lim lim 1 x x x 1 1 2 x x x x x →+ →+ →+ = = = = + −

4.2洛必达法则 2.00-00型 11 0-0 步骤： 00-00→ 00 0.0 例题6 求im( 1 ).(0-00) x-→0`sinxx 解 原式=lim x-sinx lim x-sinx x-→0x·sinx x→0 1-cosx sinx lim =lim 0 =0. 型 x-→0 2x x→0 2 0

4.2 洛必达法则 例题6 解 ). 1 sin 1 lim( x 0 x x − → 求 (  −  ) 0 1 0 1  −   − . 0 0 0 0  −  x x x x x sin sin lim 0  − = → 原式 x x x 2 1 cos lim 0 − = → = 0. 2.  − 型 步骤: 2 0 sin lim x x x x − = → 2 sin lim 0 x x→ = 0 0 型

4.2洛必达法则 2.其它类型 注意：洛必达法则的使用条件 洛必达法则只能对9或”型未定式使用， 0 0°型 步骤： 取对数nr0n50成女到 1”型 步骤： 取对数1n1→0.0三0.1（或0） 类似的方法可以得到∞型的步骤，试一试？

4.2 洛必达法则 注意：洛必达法则的使用条件． 0 . 0   洛必达法则只能对 或 型未定式使用 2. 其它类型 0 1 1 ln 0 0 0 ( ) 0       取对数 或 0 0 型 步骤: 1 1 ln1 0 ( 0) 0        取对数 或 1  型 步骤:  类似的方法可以得到 0 型的步骤，试一试？

思考与练习 1.洛必达法则适用于那些情形的极限问 题？ 2.求下列极限：

思考与练习 1.洛必达法则适用于那些情形的极限问 题？ 2.求下列极限：