《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第十节 闭区间连续函数的性质

第一章极限与连续 第十节闭区间连续函数的性质 一、有界性与显大值最小值定理 最大值和最小值的报念： 对于在区间1上有定义的函数f(x),如果有∈1，使得对任一x∈1， 都有 f(x)≤f(和)(f(x)2f八n)),则称f(x）是函数f(x)在区间1上 一定能取得它的最大值和最小值。 注意：(1)区间一定为闭的。香则皓论不成立，如： y=x在（-1,2)内有最小值日，但无最大值 〔2)最大、最小值可在端点取得，且取得最大、最小值的点也可有多 处. 如y=x2在【-1,21在端点取得最大值，y=地x在 [0,6列上有多处取得最大、最小值。 二、季点定理与介值定理 如果x使f(x)=B,则x称为函数f(x)的腰点. 定理2（零点定理）设函数f(x)在闭驱间【a,b]上连续，且f()与f(仍） 异号（即f(@)·f）《)，那么在开区间(a,b)内至少有一点5使 f(5)=0 1

1 第 一 章 极限与连续 第十节 闭区间连续函数的性质

y=f(x) B bx a分b 0 定理3（介值定理） 设函数f(x)在闭驱间【a,b]上连续，且在这区问的端 点取不同的函数值f()=A及f(亿)=B,那么对于A和B之间的任意一个数 C,在开区间(a,b)内至少有一点5，使得 f()=C(ab证明：在(a,b)内至 少存在一点5，使得f(传)=5. 证令F(x)=f(x)-x,在[a,]上对F(x)使用季点定理即得结论

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