《高等数学》课程授课教案（讲义）第二章 导数与微分 第一节 导数概念

第二章导数与微分 第一节导数概念 一支化*时要举例 1.支速直线远动的速度 设质点作直线运动，质点在数轴上的位置。与时间：的关系卿位置函数)是 6=6(),则=时刻质点的瞬时速度为 %)=是典4+如园 2.线的率 曲钱y=f(x)上点M(x0,f(x》附近取一点 N+A,6+△》，则瞎线MN的率为太f9-f △x 当N9鼓M卿△x→0谢，k→g 即本n=照+-1 △x N imf(+Ar)-f() △x 0 二、导数的定义 1.函数在某点处导数的定义

1 第 二 章 导数与微分 第一节 导数概念

定义1设y=f(x)在点x和的某一邻城内有定义，如果极限 f(+△x)-f(x】 △x 存在，则函数y=(x)在点处可导，并称该极限值为函数y=f(x)在点 a九气 df(x) dx △x (*) 注1”f(x)在点x处可导即f(x)在点x。处且有导数或导数存在 2若码西+-不有在，付在直终不.君 不可号的原因是织+-：0，为了方便起见，也称 △x (x)在x。处号数为无穷大. 3(*)式称为导数的定义式其常用形式还有下列两种 )=g f"(x)= x-X。 期西+创-1 40导数的定义式提供了求极限的一种方法导数定义式法

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若f(x)在点0处可导，则 牌5+a:+的-a-r. 5分导数念的实质函数的变化率 2.左导数与右导数的定义 定义2(x)在点0处的左导数记为()，规定：()= -+49-1: △x 寸(x)在点x,处的右导数记为(x),规定：()= -+A-1型 △x 注1f(x)在x和处可f'(x)存在)台f()与(x)都存在且相等 2”左导数与右导数统称为单侧导数. 3.导函数的定义 定义3(1)若f(x)在(a,b)内每-点可导，侧麻f(x)在(a,b)内可导： （2)f(x)在(a,b)内可导，且f(a)与f()都存在，则称f(x)在 [a,b]上可导： 〔3诺f(x)在区间1内每一点可导则(x)在1内任一点的导数是x 3

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的函数， dx 网=品+0-因-儿+的因 △x 注1(“)式称为导通数的定义式. 2”导数与号通数的关系：f"(xo)='(x%· 3”在不致于引起混滑的场合，导函数通常简称为导数】 三、按定义求导数举例 例1按定义求下列函数的导数 (1)f(x)=C (②f(x)=x (3)f (x)=sinx (4)f(x)=cosx (5)f(x)=1og.x(6)f(x)=a* 例2设f(x)=nx,按定义求y儿k-2 bx-ln2=lgx身 ”=2 a1+-1-11 =19x-2 2 -9-22 四、基本初片函数的导数公式 1.(C)'=0

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2.(x“y=r 6=1.6网：2·y-月 3.(a')'=a'lna 特别：(e)'=e 4.0og.对'xha 血= 5.(sin x)'=cosx (cos x)'=-sin x (tan x)'=sec2x (cotx)'=-csc2x (secx)'=tanxsecx (cscx)'=-cotxcscx 1 6.(arcsin x)'=- -x2 rcos'=-云 ((arctan对=1+ orc以 例3求下列导数： 1)设/彻= -,求f'(x): （2)设f(x)=1nx,求f"(②)，【(2r:

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②1)=J :LT 五、子数的肌何意义 函数f(x)在点x处的导数f'(x)在几何上表示曲线y=f(x)在点 (x0,()》处的切线的宰.即∫"(x)=k 注函数f(x)在x处可导在几何上表示曲线y=(x)在点(x0,f(x》 处具有不垂直 于x袖的切线。 2若∫”(x0)=0,则订线垂直于x轴 3曲线y=fx)在点(0，J(x》处的切线方程为 y-f()=f'(x-x): 曲线y=f(x)在点(，f(》处的法线方程为 1 -)=70-. 例4求曲线y=不子在点(1,1)处的切线方程与法线方程 解e=y儿=3xla=3，s=-写 切线方程为y-1=3(x-1).即3x-y-2=0 6

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法线方程为y-1=-x-),即x+3y-4=0。 六、可导与连线的关系 定理若函数y=f(x)在点x处可导，则y=f(x)在点x处必连续 正 U-小s9@-0· f"(xo)0=0 注逆命题不成立（见后面的例），即连续不一定可导 2逆否命题：不连续一定不可导 0x=0 解（1)连续性 ef闭=gc=0=f0, ·.f(x)在x=0处连续. （2)可导性

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:0=团0-婴 x-0 0=0® x-0 ·f(x)在x=0处不可导. 2x+1x0 x 解“0y=e2x+)=1 =1 但y(0=2, 函数y在x=0处不连续，从而不可导 8

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