《高等数学》课程授课教案（讲义）第四章 不定积分 第四节 有理函数的积分

第四章不定积分 第四节有理函数的积分 一、有用函数的职盼 【一)有函数含 有理通数是指由两个多项式的商所表示的函数，其一般形式为 Px)_a6x+ax++a Q(x)xm+4x可+.+ 当分<州时，称有数因为真分式：当州之州时，称有理西数因为分式。 Q(x () (二)有函数的类 「有理整函数（多项式） 有理函数 有理分函数，真分式 假分式 〔三)有函数的盼解 1.对于假分式可利用多项式法分解成一个多项与一个真分式之和，即 假分式=多项式+直分式 2.对于真分式可按下列规则分解为部分分式（简单分式）之和： ①若分母Q(x)有一次北重因式(x一)，则分解后有下列个部分分式之和 A 4 x。ta-a++xa时 ②若分母Q(x)有二次重因式(x2+px+g)(22-4g<0),则分解后有下列 k部分分式之和： 1

1 第 四 章 不定积分 第四节 有理函数的积分

4x+2从+4x+2 +*G++++ Mix+N (x+px+q) x2+1 1将分解红+)红-为简单分试之和. x2+1 A x+可x行a+则 x2+1=A(x+10(x-1)+B(x-1)+C(x+1)2 方法-（比较法）由（）式得x2+1=(A+C)x2+(B+2C)x+(←A-B+C) 「A+C=1 由此得，8+2C=0,2得A=号B=-1C=) -A-B+C=1 1 +-x* x2+1 1 方法二（代入法）在（米）式中 令x=1得，C=2◆x=-1得，8=-1：◆x=0，4= 1 x2+1 2 -1 2 (x+1)2(x-Dx+1(x+1)2x-1

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能将子果明之和 解法待定系数法 ABx+C [A+B=0 A=1 4=(A+B)x2+Cx+4A,由此得，C=0,解之得，B=-1 4A=4 c=0 融+雨计4 4 解法二凑系数法 生品 〔四)求有函数积分的方法—先求分解式，再逐项积盼 =2k+t+2k-4c m44d=+平4]x=2+0+c

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a+2+可4-[+ 5 到2-92+川 2In1+2x-In(1+x)+arctan x+C 31 -2+可2+*+品 -号+p-t+4c 724瑞=2rd+jra =-子+c=-x-0-0+c :0- -斗a-40+c-c

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二、三角函数有理式的盼 【一)三角函数有理式的概念 由常数与三角函数经过有限次四则运算构成的晒数称为三角函数的有理式， 记作R(sin元，cosx) 〔二)求三角函数有理式积兴分的方法 1.一防法用万宝（◆加宁-有触 tan x当器) 2.特殊方法 1)若R(-sinx,cox)=-R(sinx,cosx),则阿令t=cosx: (2)若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则呵令t=inx: （3)若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),则呵令t=tanx. 4)对三角线性分式的分∫A+月co8d天可用待定系数法： A sin x+B2 cosx 会8-4“54权 Asin x+B.cosx ax+Bln A sin x+B cosx+C 〔5)凑微分法等

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1-2 2t 2d -告层 =知+c-m引m+c. m4=≥对智后= 0的+割 c器o u点2吧 Cntatax+C Me12C3a 2sin x+3cosx =-x+2In 2sin x+3cosx+C. la5店+孕+外口 6

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