《高等数学》课程授课教案（讲义）第三章 导数的应用 第七节 曲率

第三章导数的应用 第七节曲率 一氨微分 设f(x)在(a,b)内具有连续导数，在曲线 点M%)作为度量弧长的基点，并规定俄x增大的方向 作为曲线的正向，对曲线上任一点M,),都对应若一段 有向孤盈M.规定有向弧显，M的值s如下：s的绝对值了和 xx+△xg 等于这孤段的长度s的符号由W的方向决定：当M的 方向与曲线的正向一致时，S>日：当M的方向与曲线的正向相反时，S<0, 显然，s是x的函数：S=S(x),且s=s(x)是x的单调增加函数. 事实上，石∈(a,b),且<，a)当本<西≤

1 第 三 章 导数的应用 第七节 曲率

时，G(x)<c(x)≤0： 2) 当 时，0≤s()<s(x): 石<< 时，(x)<0<s() 下面求s=(x)的微分一即孤微分. 设M(x,y)为曲线上任一点，M"(x十△x,y+△y)为曲线上与M邻 近的一点，则 M'=显，M'-鼎M=s(x+△x)-s(x)=△s,于是 尝密-器 上式中令Ax→0，并注到时M→M,从雨职，海 投-士小+7面8-闭是：的显装，食

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ds=+y产dx 一弧微 分公式 二、曲率及其计算公式 见.16图) 曲线的弯曲程度：(1)与曲线转过的角度有关：(2)与段的长度有关 定义设曲线是光滑的心.169脚注)，在曲线上取定一点M。作为度量孤长的 基点，并设曲钱上点M与M处的切钱的顺角分别为&与a+ nM=,盈，M'=s+△s 牌会为na倒*记R,用尽-伦斜 而带曲尽：安2为三限在点斯效的笔这作K,用 阁 【在二台年*，K-」 注定义的合程性 1)直线不弯曲 △a=0,4g=0从而K=0 As 直线上任意一点曲宰为零

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2)圆上各点处的曲率相等 注意到△S=R△a, As 圆的弯曲程度各处都一样，且半径越小曲宰越大，即圆弯曲得越利害 2.曲畔的计算公式 (1)若曲线由方程y=f(x)给出（寸具有二阶导数），则 K= 1+o23 X=4m) （2)若曲线由方程 k=ldw-dwl [(e2+(21节 证 1 y 1* 雨=y,数K4- 1+6023 2 由

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故K=少1 au-ou ,■ 1+023【02+w023 三、曲率图与曲率半径 设曲线y=f(x)在点n处的曲率为K(区≠0)，在N处的曲线的法线上 的-，使DM上=P以D为国心，为半径作，此为 曲线在点处的蟀鼠。D叫曲线在点处的蟀中心，P叫曲线在点处的 曲畔半轻.即 0 -曲率同 一曲率中心 一曲宰半径 注曲线与曲宰圆在点M处共切线、等曲宰、同凹向 例1计其曲线y2=4x在点1,2)处的曲宰及曲宰半径 解y=4x2=4y=2y=- y 故曲线在点1,2)处的曲宰为 4 k=b" 1 1+03 a+34 例2抛物线y=ax2+bx+c上郑一点处的曲率最大？ y=2ax+b,y=2a K=1 12a [1+02Fh+(2ax+25 欲使K最大，应使分母最小敬当即x=一云时，K有最大值2即在 物的项点（←之，4如c-二)生率大 2a'4a 作业：P.175x.3-715

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