《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第六节 极限存在准则两个重要极限

第一章极限与连续 第六节极限存在准则两个重要极限 一瑟眼 雅测1如果数列（石玉（八，《乙，）满足下列条件： (1)≤x≤z(”=1,2,3，., （2)lim=a,lim=a 那么《不，的极限存在，且！m不=a. 证因im水=a,lim乙=a,所似廿e>日，3正整数2从，当n)2从 时，有 1-A1《E:又3正整数N2,当n)时，有：2。-a:《E, 取N=m《从1，N2)则当n>N时有：.-a:《E,!乙w-a! 《E同时成立，即a-E《为《a+e,a-E《z.〈a+e同时成立.又因 ≤x≤工。，所似 a-g<人≤xn≤z〈c+e,即：不-a:〈e成立.也即limx=a, 雅划1如果 （1)当xe7(0,)(或xPM)时，g(x)≤f(x)≤h(x 1

1 第 一 章 极限与连续 第六节 极限存在准则两个重要极限

2’思&份=a☏的=a 歌黑在于 准则1和难则1'称为夹通定理。 由此定程正明第一个营要限妈血1 首先，函数血”对于一切x≠0都有定义在下列单位图中， ∠A0B-x0cx 点A处的切与OB的延长钱相胶于D又BCLOA,则mx=CB,x=AB tanx-AD. 因为△AOB的面积<圆扇形AOB的面积△AOD的面积

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目om,1品 ，c03x01 因为当不用-不代替时.C06不与n都不安，所上面的不等式对于开区同 (一子内的-切x也是成立的容易证明职c0sx1织1-1，由准则P, 1始 ”受得 第上产 2im2 2m25 解原式码天 .1 sin “ ”欧ad品动月 c to 解令t=arctanx，则x=tamt，当x→0时，有 3

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0暢 二骤1m+'=@ 数列《不)单调增加台石≤为3≤不3≤.≤不≤x1≤. 《xJ单调少台石之方之为之.之x之无41之. 单调增加和单调减少的数列称为单调数列. 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。 几何解释：设（不）单调增加，在数轴上点石随？增大向右移动，有两种情 况：(1)移向无穷远处.〔2)移向一个定点。由于（，）有界，所似1)不可能 不.只能胸一个定点，从而(x,)当2→00极限存在。 由此准则阿以证明：(1)m+产=e, (2)m+产=e(+a)=e) 创3求1+2 解原式-织1+2对2g2 4

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