《高等数学》课程授课教案（讲义）第三章 导数的应用 第一节 微分中值定理

第三章导数的应用 第一节微分中值定理 一、中值定理 B.费马ceat)引理 设(x)在点x的某一邻城U(x)内有定义，且在点处可导，若 Vx∈U(x),有f(x)≤f(x)或f(x)≥f(),则f"()=0. 证不妨设xU()时，f(x)≤f(x),则附于+Ax().有 f(+△x)≤f(x), 从而当Ax>0时，f+-≤0： 当△x<0 △x 时+A的-f≥0 △x 根据函数f(x)在可导的条件及极限的保号性，得 )=c)=+9-f@s0 =a-e+4g-@20 △x 故，f"()=0.■ 注若f“()0,则称点x为函数(x)的驻点或稳定点 1.罗宋oe)定理 若函数f(x)满足 o a s

1 第 三 章 导数的应用 第一节 微分中值定理

（1)在闭驱间[a,b]上连续： （2)在开区间(a,b)可导： b x （3)f(a)=fb), 则至少存在一点专e(a,b),使f()=0 证由于f(x)在[a,b]上连续，所似f(x)在[a,b】上达到最大值M与 最小值m ①若M=m,则在[a,b]上f(x)=M.此时，x∈(a,b) 有f'(x)=0.故任取5∈(a,b),有f"(5=0. @若M≠，因f(a)=f),故M与洲至少有一个在区间 内部达到，假设M在内部达到，即存在专∈(，b),使f(传)=M,从而 xe[a,],有f(x)≤f().故由费马引理得，f“(G)=0.■ 注罗尔定理的几何解释：若连续曲线弧贝B上除端点外处处具有不垂直于x 独的订线，且两端点处的纵坐标相等，则咳曲线弧上至少存在一点，在该 点处的切线平行于x轴。 2.拉格阴日0amg)中值定理 若函数1(x)满足

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〔1)在闭驱间[a,b]上连续： (2)在开区间(a,b)内可导， bx a b x 则座至少存在一点专e(a,b),使 f-f@=f⑤) b-a 正令以对=(-）@x,则由定理程条件得以在 b-a a,上连袋，在a.,)内内可导，且回=0)=时@-afO.由 b-a 罗尔定理，至少存在一点专∈(a,b)，使p'()=0，即 f-@=f⑤. b-a 注1°5e(a,)又可表为5=a+6a-a)(0<8<1). 2”将定理用在[x,x+△x上，则结论成为 f(x+△x)-f(x)=f"(x+x)△x 0<8<0, 即 凸y=f(x+弘x)△x-一一有限增量定理 3拉格明日定理的几何解释：如果连续曲线y=(x)的B上除端 点外处处具有不直于x轴的切媛，那么这弧上至少有一点，使得在该 点处的切践平行于弦AB, 3.柯西Eauchy)中值定理

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若函数∫(x)及g(x)满足： （1)在闭驱间[a,]上连续： 〔2)在区间(a,b)内可导： (3)在(a,b)内g'(x)≠0 则至少存在一点5∈(a,),使 f⑥)-fa)_f"() g6)-g(ag'(5) 正令mx)=f(x[g(b)-g(a】-g(x)[/)-f(a)],则由条件 〔1人〔2)知g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且容易验证 a)=).事实上 a)=f(a)[g(b)-g(a)]-g(a)f(b)-f(a)=f(a)g(b)-f(b): b)=f(b)[g(b)-g(a)]-g(b)[f(b)-f(a)]=f(a)g(b)- 由罗尔定理，至少存在一点5e(a,b),使得中()=0. f"(5[go)-ga)]-g'(5[J)-f(a)]=0. 再注意到g(b)-g(a)≠0【事实上，若不然，则g(x)在a.b1上满足罗

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尔定理，故存在”∈(a,b),使得g'()=0,这与条件〔3)矛盾】即得 fo-f@.9. g)-g(a）g'(5) 41 ngr ange定理的推论如果函数∫(x)在区间I上的导数恒为零则/(x) 在区间1上是一个常数 证x1,x2∈1，且石<为，由f(x)在1上可导知，f(x)在[西，西] 上连续且可导，故由Lgmg定理得，存在专∈(，x2)，使得 f(x3)-f(x)=f'(5(x-x1) 由f"(x)=0→f"()=0,从而f(x2)=f(x),故f(x)在1上 是一个常数.■ 二、中值定的庄要应用 1.证明骑式 例1设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b),试证明：存在 Ge(a,b),使得 分新一要证Jo-f@=5f'(n名，只委正

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f-fa-f"(且 Inb-Ina 这种形式启发我们运用Cauchy定理证明。 证-令g(x)=lnx,则f(x)与g(x)均赃[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，且在(a,b)内g'(x)≠0.据Cauchy定理，存在5∈(a,b),使得 f)-f(a_f'() g)-g(a）g'(5) Inb-Ina f-1@)=5f'9n2 分撕证了间-a=f'⑤ 0 只要证【/0)-fo]20mb-ha0f(份=0.蚵运用 R11e定理证明. 证=令以x)=[fb)-f(a]nx-(nb-lna）f(x),则rx)在 [a,b]上连德，在(a,)内可导，且易验证 g(a)=gmb)=f⑥)lha-f(a)lnb据Role定理存在号e(a,b),使 (9=0，即[/-f@20mb-haf(⑤=0，也即 6

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f-Ja)=6f'9h色 2.正明后等式 2证明：arcsin+arco=行←1sxs) 证令f(x)=arcsinx+arccosx，则f"(x)= V1-示h京0(-1<x<) 1 又f(x)在[-1,1]上连续，故f(x)=c(-1≤x≤1) 固wf0=受c=由博/o闭-至（←1sxs0 里inx+rcoa-受-1sxs到. 例3若函数f(x)在(-0，+o)内满足f"(x)=f(x),且f0)=1,求 证：f(x)=e. 正令F)=因，则R的在（←-0，四内阿导， 且 F=fe-gd.f闭-fd.0, (e2 Vx E(-co,+oo) 酸闭=6即②=c.又自0=1宁6=1，从面

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f(x)=e" 3.证明环等式 例1证明脂×)用时，1中：1时.R产>ax

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证令f(x)=e,则对x>1,f(x)在[1，x]上连续，在(1，)内可导， 君Lgn定理，存在5∈0，对，使得闭-0=传，即 x-1 g-e=g.由于5>1→g>8放e*-0>e(x-0周g2>8x, x-1 4.讨论方程根的饰在性球性一性 例7证明方程x+x-1=0只有一个正根 正（1)先证存在性令f(x)=x+x-1,则f(x)在0,1]上连续， 且(0)=-10,由季点定理，方程f(x)=B,即 x子+不-1=0在（日，1）内至少有一实根.即方程至少有一正根 （2)再证惟一性若有>西>0，使得f()=f()=0, 则由o11e定理，存在专∈(x,x),使f"()=0,即5+1=0，矛盾t 故方程至多只有一个正根】 综上得方程x+x-1=0只有一个正根。 0小结：阿西定理卡g()=x拉格明日定理加f()=f(仍)图】 尔定理 拉格朗日定理是柯西定理的特例情形(g(x)=x),罗尔定理是拉格明日 定理的特例情形(f()=().但罗尔定理是柯西定理与拉格朗日定理的 本源，因为后两个定理均要用罗尔定理来证明.故罗尔定理的应用最广泛， f作业：P.132Ex3-17.8.9.10. 9

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