《高等数学》课程授课教案（讲义）第四章 不定积分 第三节 分部积分法

第四章不定积分 第三节分部积分法 ▲分盼公式 fudw=w-∫vdtu 注适当选择u和v是运用分部积分法的关健，选挥的原则为： (1)v易求：(2)[vau比[udw易积 例1(1)∫xe'dx=∫xde*='-e'dx=xe'-e'+C. ∫r。dh =」x2d(e)=-x2e+∫e*2xdx=-x2e-2xe*-2e+C. ,22- 例21)∫xcosxdx ∫xd(sinx)=xinx-∫sin xdx=xinx+cosx+C. 2 )x2 sin xdx ∫x2 sin xdx=∫x2dcos)=-x2cosx+2 xcosxdx =-xcosx+2(xsin x+cos x)+C

1 第 四 章 不定积分 第三节 分部积分法

小ah-20-20k-m2 -m2x+a2d-2x-日oi2+c -，gv君r：” conat 例3 1 j2axa=小axa写=nr4xa+c 2 xnxdx-fd)dx) =22-r1ax+zdxr2x-hx+好+c 小e:器m） 例4 1 cm ds=axd-女知m女d

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2 j2nxdx-cix=cm-引d =写式cnx+d或-7) =式2cnx+号-6-P]di-7) =cnx+号i-不-6-y+C】 -·K饭三角函数dxv= +1 0-=0-4a0-02 x-1 =0-对-小+4=0-+c 2 ∫o=imco9x+小dx=co9-i-子+C 1 一般地，被积函数为对数函数或指数函数，则就选取被积函数为让， 例6 3

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∫e产cosbxdx=-d(sinbx))=e"in-g」esinbxdx =号e”snbx+是co) =e产inbx+是c-f引e产cobxdx, 散∫e产cox=g-4cos6r+bsinbx+C. a2+b2 一般地指数函数和三角函数的乘积，任取u为三角函数或指数函数，但必须始终 ▲能拥分积盼法的常见类型及4或dv的选取方式 1.∫Vo dx 选取让=x 2.∫x产sin Bxdx,∫x产cos Bxdx等选取u=x产 3.∫Xn”xdx等 选取dv=x产dx 4.∫x产arcsinxdx,∫x产arccosxdx等选取dy=x产dx 5.∫Inxdx,∫arcsinxdx,arctan等选取dv=dx 6.∫e“cosbxdx,∫e”cosbx dx等 的选取方式任意（语 积分) 1.它如：小exdx,小F士dx,王可d 2 4

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∫((arcsin x)dx等 例7∫sec2xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tam2 xsecxdx =secxtanx-[(sec'x-secx)dx =secxtan x-[sec xdx+lnsecx+tanx, 敬∫小xdx=2 secxtan+2 nkecx+-tamx+C. 例8∫sin(n对dx=xsin(n对)-∫oslh对dx=xmlh对-xoos(dn对-∫inln对dx 散∫sin0nx刘dx=引sina对-cos0n+C. jea-j2位d数 =x(arcsin x)+2f arcsin xd() =x(arcsin x)+2v1-x2 arcsin x-2x+C. mw1e引de小-平e+e -2+5+2actm。+c 帆nje5a等2城d=2dd=2ae-2erdc =2e2-2e=2e(F-1)+C

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em可ram-小o0-unC =-2x-1c0s/2x-1+sin v2x-1+C. 4=小cm-子ca+小 =-1-x arcsin x+C. :d M=小w=c 54dk巴jeaat-atada4-btamc-jad =In(tan)sint-In|sect+tan+C in+)+

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创16已如f()的-个原通装为迎，求∫才（闭出 =x/=闭闭ax=(+c =cosx-2sinx+c 例17∫m2((sindx=2 inxdf(in)=2 inx f(in)-2 sin )dsin对 =2sinx f(sin x)-2 f(sinx)+C. 制njP2+典9x=2pxdr+2mdx =2[e'd(tan x)+2[e"tan xdx =2e*tan x+C. 小 mn小n引hxd-子hx-引2ax -号2x-割ax -n2x-nx成 =导xgh+d=xg+4c 7

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