《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第八节 函数的连续性和间断点

第一章极限与连续 第八节函数的连续性和间断点 自然界有许多现象都是连续变化的，如树术的生长、气温的变化等，它们反映 到数学中来就是研究函数的连续性问题。 增量的念： 始值 终值 改变量〔增量 支量x无→x1 △x=x1-x 函数f()→+x 4y=f(6+△x) -f(和) 一、函数的链线续性 定义设函数y=f(x)在点的某一领域城内有定义，如果 im4y=m[f(3+△x)-f(]=0， 那么就称函数y=f(x)在点x连续. 令x=和+△x，则△x→0就是x→而，由于 △y=f(6+△x)-f(x),所似4y→0就是f(x)→f(0),因而连续 定义可写成： 如课1imf(x)=f(不).那么y=f(x)在点连续. 由定义可知：y=f(x)在点连续必须满足下面三个条件： （1))有定义：(2)1细（闭存在，设为A3)

1 第 一 章 极限与连续 第八节 函数的连续性和间断点

A=f(x). 「3x-2x>1 例1讨论f(x)=2-1 在x=1处的连续性。 x-1 x≤1 解婴f因=2，职/（闭=1，织）不存在，故f)在x=1处 不连续 例2设f因闭=0-) x>0在x=0处连续，求常数a 解册f(闭=a,册)=g,有f)在x=0处连缕得 i册(x=1(为，故 a=e- 函数f(x)在区间(a,b)内连续台f(x)在(a,b)内每一点都连续. 西数（网在点左连续台g(闭=(） 函数(x)在点右连续台mf(因=(】 函数在该闭区间[a,b]上连续台函数f(x)在区间(a,b)内连续，且 (x)在点x=a处右连续在点x=b处

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左连续 显然：f(x)在不连续的充分必要为f(x)在点左连续且右连续. 例2讨论∫(x)=$mx在定义域上的连续性 可以证明：y=snx,y=cosx,y=a在定义城上连续。 二、函数的问断点 间断点：函数寸(x)的不连续点，即m(x)=寸()不成立的点x x 解1求(1)1网=2二：2)fa= x≠1 x-1 2 不】的断点 解x=1 [x-1 x0 例3(1)寸(x)=1 0号，号 1 2 例4f因)=m上x=0

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间断点的分类： 寸儿闭的同断点而，第一英同断点《职.（闭，m(闭都存在） 若细f儿因=毁（闭，为称为可去间断点 若m)≠织闭，称为跳断间断点 第二类间断点（平闭职，（闭至少有-个不 存在) x2-1 0阀1中x=1河去新点，若在1)中含闭了 x=1 此比时f(x)就在x=1处连续了（几何上即把“空洞”补上从而使f(x)的图形不 断开。 例2中x=0是跃跳间断点：例3中间断点x=广是第二类间断点（称为无穷间 断点)：例4中间断点x=0是第二类间断点（称为震荡间断点） 例5f)=1 一，讨论其间断点，并指出其类型。 1-e 解x=0为无穷间断点： x=1跳跃间断点. 4

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