《高等数学》课程授课教案（讲义）第三章 导数的应用 第二节 洛必达法则

三章导数的应用 第二节洛必达法则 一、未定式的比种类型 未定式极限共有七种类型 日数，8数，00型，0-0,09起，1P起，色 称为基本利未定式，其它五种类型可按下法化为基本型之 00 0.oo 0或 0 0-0 c0-0 11 0 产0 00n0 o取对数或化指数 coln 0 00o ooIn 1 注(x)的对数 g(x)nf(x) 一、洛达法 定理1（洛必法则之一）如果 (1)g(闭=g闭=0（或o): (2)在点0的某去心部域内，f"(x)与g'(x)都存在且g'《x)≠0： 1

1 三 章 导数的应用 第二节 洛必达法则

)供得在成无有大 证假定f(x)=0,g(x)=0（说明) 由(1)(3)f(x),g(x)在点x的某一邻城内是连续的 设x为此邻域中的一点，则由柯西定理得 fx)-f(x)-f(x)-f"() （介于x和x之间) g()g()-g()g'() 由于当x→时，专→，由3)得 得洪治典治器· 定理2洛必达法则之二)如果 (1)limf(x)=limg(x)=0() (2)当！x!充分大时，f"(x)与g(x)都存在，且g'(x)≠0： f(x 3)在（或动无大） 集=得-操得

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崔r者得当名（熏），防，且了g满起 条件(1)一（3)，则可继续使用洛必达法则。 2若所求极限不是未定式或条件(3)不满足，则不能用洛必达法则 ?,a铝，得 创1证跟织十弧不存在，但不能用洛必达法则得出 地“块，牌w鞋好脑 必达法则 :品是纸-8-台 e2 anx ex-eT 3 3

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10 例2 得号诗 例13 岩2 例14 期=烟总册月 5

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口小结：洛必达法则佣法要点： 格必达法球极限，只虚用于未定式。 基类型直接拥，其它类型化后用。 若有定式先分，及时化简很玉要. 等价代换一老用，运过程可筒要。 条件验证不密少，法有有时会失效。 练习： 1 36 2 x 3x2 3 细x经-arcta刊= 1 x2 lim(sin Y号，洁 5.=王-e号=是=m ·典-侣-1城 法则：) 作倒业：.137=.3-212)5)6))a1)2)3)a5)a6)4 6

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