《电动力学》课程授课教案（讲稿）第六章 狭义相对论

电动力学讲稿●第六章狭义相对论第六章狭义相对论S1相对论的实验基础一、相对论产生的历史背景问题：从Maxwell方程导出的真空中电磁场波动方程表明电磁波传播速度为光速c，在运动学中，速度一定是相对于某个参照系而言，对于不同参照系，速度是不相同的。那么，Maxwell方程成立的参照系又是什么参照系？如果承认经典运动学的观点，那么在一般的惯性参照系中，Maxwell方程不再成立，姑且把麦克斯韦方程成立的参照系称为“特殊参照系”。1注意到，从Maxwell方程导出的真空中电磁波的速度为c=，它只与物质常JSoo数有关，物质常数并不依赖于参照系，所以在惯性系中，麦克斯韦方程不再成立（因为由方1程仍可导出电磁波的速度为=，但是，经典运动学要求电磁波的速度有所不同）。Vcoo另一方面，经典牛顿力学物理有物理规律在一切惯性系中不变（协变）（等价说法：一切惯性系等价）的相对性原理。显然，如果承认经典力学的观点，则相对性原理对于电磁现象不成立。小结以上讨论：前提：承认经典力学观点；1）电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关：2）电磁现象规律不满足相对性原理。自然界中存在“特殊参照系”，这个参照系就是麦克斯韦方程成立的参照系：从逻辑上，我们也可以作相反的选择，那就是认为不承认前提，而承认相反的结论：1）电磁波传播速度与惯性参照系的选择无关：2）电磁现象规律仍满足相对性原理，自然界中不存在“特殊参照系”。但是，后面的选择是对经典力学的反叛，在历史上，许多科学家曾经认为前面的观点是正确的，毕竞，经典力学是几百年发展的结果，并且有太多的成功运用。这些科学家做了大量细致的实验工作，力图证明电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关和寻找“特殊参照系”。但是，事与愿违。大量实验支持相反的结论。另外，在相对论建立的过程中，对于电磁现象的认识也发生了变化。对于声波、水波等机械波，它们的传播都需要媒质（介质）。历史上，曾经认为电磁波的传播也需要媒质，把这种媒质成为“以太”。但是，迄今为止，没有任何实验表明以太的存在。现在，已经知道，电磁波不同与机械波，它的传播无需媒质，电磁波是电磁场本身的运动形式。1

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 1 第六章 狭义相对论 §1 相对论的实验基础 一、相对论产生的历史背景 问题：从 Maxwell 方程导出的真空中电磁场波动方程表明电磁波传播速度为光速c ，在运 动学中，速度一定是相对于某个参照系而言，对于不同参照系，速度是不相同的。那么， Maxwell 方程成立的参照系又是什么参照系？ 如果承认经典运动学的观点，那么在一般的惯性参照系中，Maxwell 方程不再成立， 姑且把麦克斯韦方程成立的参照系称为“特殊参照系”。 注意到，从 Maxwell 方程导出的真空中电磁波的速度为 0 0 1 ε μ c = ，它只与物质常 数有关，物质常数并不依赖于参照系，所以在惯性系中，麦克斯韦方程不再成立（因为由方 程仍可导出电磁波的速度为 0 0 1 ε μ c = ，但是，经典运动学要求电磁波的速度有所不同）。 另一方面，经典牛顿力学物理有物理规律在一切惯性系中不变（协变）（等价说法：一切惯 性系等价）的相对性原理。显然，如果承认经典力学的观点，则相对性原理对于电磁现象不 成立。 小结以上讨论： 前提：承认经典力学观点； 1） 电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关； 2） 电磁现象规律不满足相对性原理。自然界中存在“特殊参照系”，这个参照系就是麦克 斯韦方程成立的参照系； 从逻辑上，我们也可以作相反的选择，那就是认为不承认前提，而承认相反的结论： 1） 电磁波传播速度与惯性参照系的选择无关； 2） 电磁现象规律仍满足相对性原理，自然界中不存在“特殊参照系”。 但是，后面的选择是对经典力学的反叛，在历史上，许多科学家曾经认为前面的观点是 正确的，毕竟，经典力学是几百年发展的结果，并且有太多的成功运用。这些科学家做了大 量细致的实验工作，力图证明电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关和寻找“特殊参照 系”。但是，事与愿违。大量实验支持相反的结论。 另外，在相对论建立的过程中，对于电磁现象的认识也发生了变化。对于声波、水波等 机械波，它们的传播都需要媒质（介质）。历史上，曾经认为电磁波的传播也需要媒质，把 这种媒质成为“以太”。但是，迄今为止，没有任何实验表明以太的存在。现在，已经知道， 电磁波不同与机械波，它的传播无需媒质，电磁波是电磁场本身的运动形式

电动力学讲稿●第六章狭义相对论二、相对论的实验基础按照经典时空观，真空中电磁波沿任意方向传播速度只有在某个特殊参照系中才等于称这个特殊参照系为“绝对参照系”。早期，人们认为电磁波象人们已经很好了解的机械波那样，传播需要媒质，并把这种媒质称为“以太”，认为电磁波在以太中沿任意方向传播速度为c，相对于以太静止的参照系就是“绝对参照系”。M“绝对参照系”与所有“惯性参照系平权”的物理思想矛M盾。M由于地球相对于以太运动，按照经典时空观，光沿不同方S向速度存在差异。Michelson-Morley实验（1887年）是测量这18种差异的著名实验。其实验装置原理图如右。由光源S发出的光分为两束，分别被M和M反射，调整两臂长度，使两束光2的有效光程相等，如果以太存在，由于地球相对于以太的运动，光线MMM和MMM的传播速度大小不同，存在光程差，因而在目镜T中应该能够观测到干涉效应。以u表示光相对于地球的速度，v表示地球相对于以太的（绝对）运动速度，有51c?=u?+y?+2uvcos@V.4-2vcos0± /4v2cos0-4(v2-c)-vcosoc?-ysin?u=D2这里的u仅表示大小，所以丢弃负根，u=-sin-vcoso(1)设地球相对于以太的（绝对）运动速度沿MM方向，光线MM,M（θ=0，元）的传播时间12cl2cl1t, =VC(1-v/c)c-yc+c?-2光线MM2M的传播时间（0=元/2，-元/2）21211221714t2 =c1+2c?V?-y2cV1-v? /c?光程差c= ct,-ct, 1(2)如果将实验装置转动90°，两束光位置交换，干涉条纹将移动2c△t_21 v2(3)？2

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 2 二、相对论的实验基础 按照经典时空观，真空中电磁波沿任意方向传播速度只有在某个特殊参照系中才等于 c， 称这个特殊参照系为“绝对参照系”。早期，人们认为电磁波象人们已经很好了解的机械波 那样，传播需要媒质，并把这种媒质称为“以太”，认为电磁波在以太中沿任意方向传播速 度为 c，相对于以太静止的参照系就是“绝对参照系”。 “绝对参照系”与所有“惯性参照系平权”的物理思想矛 盾。 由于地球相对于以太运动，按照经典时空观，光沿不同方 向速度存在差异。Michelson-Morley 实验（1887 年）是测量这 种差异的著名实验。其实验装置原理图如右。由光源 S 发出的 光分为两束，分别被 M1和 M2 反射，调整两臂长度，使两束光 的有效光程相等，如果以太存在，由于地球相对于以太的运动， 光线 MM1 M 和 MM2 M 的传播速度大小不同，存在光程差，因 而在目镜 T 中应该能够观测到干涉效应。 以 u 表示光相对于地球的速度，v 表示地球相对于以太的（绝 对）运动速度，有 2 22 c u v uv =++ 2 cosθ ( ) 2 2 22 222 2 cos 4 cos 4 cos sin 2 v v vc u v cv θ θ θ θ − ± −− ⇒ = =− ± − 这里的 u 仅表示大小，所以丢弃负根， 222 u cv v =− − sin cos θ θ （1） 设地球相对于以太的（绝对）运动速度 v 沿 MM1 方向，光线 MM1 M（θ = 0，π）的传 播时间 ( ) 2 1 22 2 2 22 2 22 1 1 / l l cl cl l v t cv cv c v c c c vc ⎛ ⎞ =+= = ≈+ ⎜ ⎟ −+ − − ⎝ ⎠ 光线 MM2 M 的传播时间（θ = π/2，-π/2） 2 2 2 2 2 22 2 22 1 1 / 2 l l lv t c v c vc c c ⎛ ⎞ = = ≈+ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ 光程差 2 1 2 2 v c t ct ct l c Δ= − ≈ （2） 如果将实验装置转动 900 ，两束光位置交换，干涉条纹将移动 2 2 2 2 c t lv λ λ c Δ = （3）

电动力学讲稿●第六章狭义相对论实际上，在实验装置中，利用多次反射，可以使有效臂长达到10米左右，若用波长元~5000A的光做实验，实验观测干涉条纹移动上限仅为0.01个，由（3）式，V～4.74km/s，即如果存在以太，地球相对于以太的运动速度上限不超过4.74km/s。在Michelson&Morley实验后，许多研究工作致力于提高实验精度，但都不能肯定以太的存在。同时，还有利用其他实验技术的工作，如1958年利用微波激射所作的实验定出地球相对于以太的运动速度上限为3×10km/s，1970年利用Mossbauer效应所作实验定出的上限为5×10~km/s。实验结果支持“不存在以太”的结论。另外，利用星光作光源的实验表明光速不依赖于光源相对于观察者的运动，对双子星观测的实验证据也表明光速与光源的运动无关（如果光速与光源速度有关，则观测到的双子星运动轨道将被歪曲）。利用高速运动的粒子可以提供光速不依赖于光源运动更为精确的实验检验。如，实验采用元介子，元介子是高能质子与质子碰撞产生的一种不稳定的粒子（质量为电子的264.12倍，寿命为0.87-10-16s，主要衰变为两个光子元°→+Y在Alvarger等人所作实验中，元介子以0.9975c的速度运动，测定沿元介子运动方向的光子速度，实验结果为(2.9977±0.0004)×10~m/s，与静止光源测得的光速一致。实验表明：1）光速不依赖于光源运动速度，在所有惯性系中，光速相同2）绝对参照系不存在（以太不存在）。其他支持相对论的实验：横向Doppler效应、高速带电粒子寿命、携带原子钟环球飞行等实验证实了运动时钟延缓效应。原子核能的利用证实了相对论的质能关系

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 3 实际上，在实验装置中，利用多次反射，可以使有效臂长达到 10 米左右，若用波长 0 λ ~ 5000 A的光做实验，实验观测干涉条纹移动上限仅为0.01个，由（3）式，v ~ 4.74 km/s， 即如果存在以太，地球相对于以太的运动速度上限不超过 4.74 km/s。在 Michelson & Morley 实验后，许多研究工作致力于提高实验精度，但都不能肯定以太的存在。同时，还有利用其 他实验技术的工作，如 1958 年利用微波激射所作的实验定出地球相对于以太的运动速度上 限为 2 3 10− × km/s，1970 年利用 Mössbauer 效应所作实验定出的上限为 5 5 10− × km/s。 实验结果支持“不存在以太”的结论。 另外，利用星光作光源的实验表明光速不依赖于光源相对于观察者的运 动，对双子星观测的实验证据也表明光速与光源的运动无关（如果光速与光 源速度有关，则观测到的双子星运动轨道将被歪曲）。 利用高速运动的粒子可以提供光速不依赖于光源运动更为精确的实验检 验。如，实验采用π 0 介子，π 0 介子是高能质子与质子碰撞产生的一种不稳定 的粒子（质量为电子的264.12倍，寿命为0.87⋅10－16s，主要衰变为两个光子 0 π → + γ γ 在 Alvarger 等人所作实验中，π 0 介子以0.9975c 的速度运动，测定沿π 0 介子运动方向的光子 速度，实验结果为( ) 8 2.9977 0.0004 10 ± × m/s，与静止光源测得的光速一致。 实验表明： 1）光速不依赖于光源运动速度，在所有惯性系中，光速相同； 2）绝对参照系不存在（以太不存在）。 其他支持相对论的实验：横向 Doppler 效应、高速带电粒子寿命、携带原子钟环球飞行 等实验证实了运动时钟延缓效应。原子核能的利用证实了相对论的质能关系

电动力学讲稿●第六章狭义相对论$2相对论的基本原理Lorentz变换一、相对论的基本原理Einstain提出两条相对论的基本假设：。相对性原理：所有惯性系等价，所有物理规律对所有惯性参照系都可以表为相同形式。·光速不变原理：对于任何惯性参照系，真空中沿任意方向的光速均为c，并与光源运动速度无关。相对性原理说明不存在绝对参照系，也不存在绝对运动。相对论的基本假定与旧时空观矛盾。旧时空观是从低速力学现象抽象出来的，集中反映在关于惯性坐标系的Galileo变换中，设惯性系Z'相对于Z沿x轴运动x'=x-vtVEy'=y(1)P2'=2t'=tx事经典时空观具有时间与空间分离的特征，这种时空DP00'观在研究高速现象时将暴露出问题，与客观实际产生矛盾。光速不变原理与经典时空观将产生矛盾。如图，设惯性坐标系以速度相对于惯性坐标系运动，初始时刻他们的原点重合，在初始时刻位于原点O的光源发出一闪光，对于惯性系2，经过一秒后，处于半径为c的球面上的接收器P1、P2和P将同时接收到信号：对于惯性系Z而言，如果光速仍然为c，位于P2的接收器将晚于P接受接受到信号。即，在惯性系Z中观察到同时发生的两事件在惯性系Z'中变为不同时；在惯性系Z中P,PP2球面为波阵面，而在惯性系中，P,PP2球面不再是波阵面，波阵面是以O为球心不同的球面。光速不变原理将迫使对同时性、时间、距离、速度等基本物理概念的重新思考，即需要建立新的时空观，相对论的一个主要内容就是关于时空的理论。时间和空间是（运动着的）物质的属性（比如，一只“理想”蚂蚁在线上爬行，对应的是一维空间，在球面上爬行，对应二维空间，如果是一只死蚂蚁，时间的概念对于蚂蚁而言是没有物理意义的），离开物质及其运动，从物理上讲，就没有时间和空间概念。时间和空间既然是物质属性，必然与物质（运动）状态由联系，即是说物质（运动）状态的改变应该导致空间和时间（相关量大小）的改变。对于低速现象，这种改变很小，不易被观察和测量，但对于高速现象，这种改变很小将可能变得明显而不能忽略。二、间隔不变性可以从物质运动中抽象出一系列事件，事件可以有不同的内容，总是某个时刻发生于某4

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 4 §2 相对论的基本原理 Lorentz 变换 一、相对论的基本原理 Einstain 提出两条相对论的基本假设： z 相对性原理：所有惯性系等价，所有物理规律对所有惯性参照系都可以表为相同形 式。 z 光速不变原理：对于任何惯性参照系，真空中沿任意方向的光速均为 c，并与光源 运动速度无关。 相对性原理说明不存在绝对参照系，也不存在绝对运动。 相对论的基本假定与旧时空观矛盾。旧时空观是从低速力学现象抽象出来的，集中反映 在关于惯性坐标系的 Galileo 变换中，设惯性系Σ'相对于Σ 沿 x 轴运动 ' ' ' ' x x vt y y z z t t ⎧ = − ⎪ ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩ = （1） 经典时空观具有时间与空间分离的特征，这种时空 观在研究高速现象时将暴露出问题，与客观实际产生矛 盾。 光速不变原理与经典时空观将产生矛盾。如图，设 惯性坐标系Σ'以速度 v 相对于惯性坐标系Σ 运动，初始时刻他们的原点重合，在初始时刻 位于原点 O 的光源发出一闪光，对于惯性系Σ ，经过一秒后，处于半径为 c 的球面上的接 收器 P1、P2 和 P 将同时接收到信号；对于惯性系Σ'而言，如果光速仍然为 c，位于 P2 的接 收器将晚于 P1 接受接受到信号。即，在惯性系Σ 中观察到同时发生的两事件在惯性系Σ'中 变为不同时；在惯性系Σ 中 P1PP2 球面为波阵面，而在惯性系Σ'中，P1PP2 球面不再是波 阵面，波阵面是以O' 为球心不同的球面。 光速不变原理将迫使对同时性、时间、距离、速度等基本物理概念的重新思考，即需要 建立新的时空观，相对论的一个主要内容就是关于时空的理论。 时间和空间是（运动着的）物质的属性（比如，一只“理想”蚂蚁在线上爬行，对应的 是一维空间，在球面上爬行，对应二维空间，如果是一只死蚂蚁，时间的概念对于蚂蚁而言 是没有物理意义的），离开物质及其运动，从物理上讲，就没有时间和空间概念。 时间和空间既然是物质属性，必然与物质（运动）状态由联系，即是说物质（运动）状 态的改变应该导致空间和时间（相关量大小）的改变。对于低速现象，这种改变很小，不易 被观察和测量，但对于高速现象，这种改变很小将可能变得明显而不能忽略。 二、间隔不变性 可以从物质运动中抽象出一系列事件，事件可以有不同的内容，总是某个时刻发生于某

电动力学讲稿●第六章狭义相对论个空间位置，在惯性系中以(x,y,z,t)表示事件，在惯性系"中以（x,J,=,t)表示事件。对于前面研究的问题，第一事件为初始时刻光源发出22闪光，它在两个惯性系中均用（0,0,0,0)表示；第二事件为在P点接收到信号，在两个惯性系和'中分别用XP(x,y,z,t)和(x,y,z,t)表示。P00'注意到光速不变原理，有[x +y+2?=ct?[x12+ y12+ 212 = c2112(2)=c/2 -(x2 + y2 +22)=c2t2-(x2+y12+2)上面选择的两个事件用光信号联系，其实两个事件不一定是以光信号联系的（比如机械运动从一个位置到另一个位置），甚至两个事件根本没有联系（不相关的两个事件）。问题是：在这样的情形，c2-(x+2+2)+0c12-(x2+y12+2)*0（2）式还成立吗？相对性原理要求从一个惯性系到另一个惯性系的变换必须是线性的（比如，要求在某个惯性系中的匀速运动在另一个惯性系中观测也应该是匀速的，这在数学上要求变换是线性的)。对于两个事件（第一事件发生于零时刻坐标原点处），对惯性系'仍可以定义二次式F(x', y',2, t)=ct2-(x2+y2+22)经过变换，F(x,y,z,t)就可以变为关于(x,y,z,t)的二次式F(x,y,z,t)，即F'(x', y', z',t)=F(x, y,z,t)F(x,y,=,t)为零时要求F(x,y,z,t)也为零。注意到（2）式的推导，F(x,y,z,t)为零时，二次式[c-(x2+y+2)]为零，数学上要求F(x, y', =, t)= F(x, y,z,t)= A[cf2 -(x +y° +2)]即c212-(x2+y12+22)= A[c2 -(x2+ y2 +2)(3)由于在空间中没有特殊方向，两个惯性系物理上等价（在数学上要求，变换仅与惯性系相对运动速度的大小有关）。所以，也应有5

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 5 个空间位置，在惯性系Σ 中以( ) x, yzt 表示事件，在惯性系Σ'中以( x ', ', ', ' yzt ) 表示事 件。 对于前面研究的问题，第一事件为初始时刻光源发出 闪光，它在两个惯性系中均用( ) 0, 0, 0, 0 表示；第二事 件为在 P 点接收到信号，在两个惯性系Σ 和Σ'中分别用 ( ) x, yzt 和( ) x ', ', ', ' yzt 表示。 注意到光速不变原理，有 2 2 2 22 2 2 2 22 ''' ' x y z ct x y z ct ⎧⎪ ++= ⎨ ⎪⎩ ++= ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ − ++ = − ++ ct x y z ct x y z ' ''' （2） 上面选择的两个事件用光信号联系，其实两个事件不一定是以光信号联系的（比如机械运动 从一个位置到另一个位置），甚至两个事件根本没有联系（不相关的两个事件）。问题是： 在这样的情形， ( ) ( ) 22 2 2 2 22 2 2 2 0 ' '''0 ct x y z ct x y z ⎧ − ++ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ − ++ ≠ ⎩ （2）式还成立吗？ 相对性原理要求从一个惯性系到另一个惯性系的变换必须是线性的（比如，要求在某个 惯性系中的匀速运动在另一个惯性系中观测也应该是匀速的，这在数学上要求变换是线性 的）。对于两个事件（第一事件发生于零时刻坐标原点处），对惯性系Σ'仍可以定义二次式 ( ) 22 2 2 2 F x y z t ct x y z '( ', ', ', ') ' ' ' ' = − ++ 经过变换， Fxyzt '( ', ', ', ') 就可以变为关于( x, yzt) 的二次式 Fxyzt (, , ,) ，即 F x y z t Fxyzt '( ', ', ', ') ( , , , ) = Fxyzt '( ', ', ', ') 为零时要求 Fxyzt (, , ,) 也为零。注意到（2）式的推导， Fxyzt '( ', ', ', ') 为零时，二次式 ( ) 22 2 2 2 ⎡ ⎤ ct x y z − ++ ⎣ ⎦ 为零，数学上要求 ( ) 22 2 2 2 F x y z t F x y zt A ct x y z '( ', ', ', ') ( , , , ) = = − ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 即 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ct x y z A ct x y z ' ''' − ++ = − ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （3） 由于在空间中没有特殊方向，两个惯性系物理上等价（在数学上要求，变换仅与惯性系相对 运动速度的大小有关）。所以，也应有

电动力学讲稿●第六章狭义相对论A[ct2-(x12+y12+212)]=ct2 -(x + y2 +22)(4)由（3）和（4）得A?=1=A=±1。正如坐标系平移和旋转变换，变换应该是连续的（注意空间反演变换不是连续变换），舍去负根。所以对于任意两事件，（2）式仍成立，总有ct2 -(x2+y2 +2)=ct2-(x2+y2+22)(5)如果第一事件不是发生在零时刻，也不是发生在坐标原点。在惯性系2，两事件表为(1,Ji,21,4)和(x2,J2,22,1)，定义间隔s2 =c (52 -1) -[(2 -x) +(y2 - ) +(22 -2.)(6)在惯性系2，两事件表为(,，2,)和(2,y2,22,)，间隔为52 =c(5-1)~-[(3-x) +(2-以) +(32-2) (7)同样有s? = s12(8)这称为间隔不变性。讨论：间隔是将时间和空间距离统一起来的一个概念。间隔（不变性）使时间和空间建立了联系（与惯性系Z中情形比较，在Z中空间距离减小将伴随时间间隔的减小：Ex.1参照系Z相对于Z以速度v沿x轴方向运动，在Z'上有一静止光源S和一反射镜M，两者相距z。。从S发出闪光经M反射回到S。求两参照系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。B生解：在'上观察到的时间为Z!Z4r'= 2=07cS间隔为vAt(As)* =c?(Ar)* -(Axr)* -(Ay)* -(4-)=c(r)=c2=428在上观察，由几何关系可得光信号传播路程为（Ay=△z=0)vAt2z0c△t = 2,+zAtUVc?-y?注意到Ax=vt，两事件间隔6

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 A ct x y z ct x y z ⎡ ⎤ ' ''' − + + = − ++ ⎣ ⎦ （4） 由（3）和（4）得 2 A A = ⇒ =± 1 1。 正如坐标系平移和旋转变换，变换应该是连续的（注意空间反演变换不是连续变换）， 舍去负根。所以对于任意两事件，（2）式仍成立，总有 ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ct x y z ct x y z − ++ = − ++ ' ''' （5） 如果第一事件不是发生在零时刻，也不是发生在坐标原点。在惯性系 Σ ，两事件表为 ( ) 1 1 11 x , yzt 和( ) 2 2 22 x , yzt ，定义间隔 ( ) ( )( )( ) 2 2 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 s ct t x x y y z z ≡ −− − +− +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （6） 在惯性系Σ'，两事件表为( ) ' ' '' 1 1 11 x , yzt 和( ) ' ' '' 2 2 22 x , yzt ，间隔为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2' ' ' ' ' ' ' ' 21 2 1 2 1 2 1 s ct t x x y y z z ' ⎡ ⎤ ≡ −− − +− +− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （7） 同样有 2 2 s s = ' （8） 这称为间隔不变性。 讨论： 间隔是将时间和空间距离统一起来的一个概念。间隔（不变性）使时间和空间建立了联 系（与惯性系Σ 中情形比较，在Σ'中空间距离减小将伴随时间间隔的减小； Ex. 1 参照系Σ'相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴方向运动，在Σ'上有一静止光源 S 和一反射镜 M， 两者相距 ' 0 z 。从 S 发出闪光经 M 反射回到 S。求两 参照系上观察到的闪光发出和接收的时间和间隔。 解：在Σ'上观察到的时间为 ' 0 2 ' z t c Δ = 间隔为 ( ) ()( ) ( ) ( ) ( ) 2 2222 2 2 ' 2 2 2 '2 0 0 ' '''' 2 ' 4 s ct x y z z ct c z c Δ = Δ −Δ −Δ −Δ ⎛ ⎞ =Δ= = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 在Σ 上观察，由几何关系可得光信号传播路程为(Δy z =Δ = 0) 2 2 0 2 2 v t ct z ⎛ ⎞ Δ Δ= + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 2 2z t c v ⇒ Δ= − 注意到 Δ=Δ x v t ，两事件间隔

电动力学讲稿·第六章狭义相对论(As)"= c (t) -(Ax)-(Ay) -()° =c (At) -(Ax)= c(At)* - y (At) = 4z由间隔不变性4z = 4z%2=由变换的连续性，2。=2。，所以220cAr'At'(9)At-Vc?-y?Nc?-y?/1-(v/c)可见t>t。三、Lorentz变换正如经典时空观集中反映在Galileo变换一样，相对论时空观集中反映在从一个惯性系到另一个惯性系的时空坐标变换式一一Lorentz变换。为简单起见，选两坐标系的x和x轴都沿Z相对于Z的运动方向。设第一事件发生在零时刻，且在坐标原点处（零时刻两坐标系具有相同的坐标原点），第二事件在中以(x,y,z,t)表示，在'以(x,y=,t)表示。注意到变换是线性的，可写为x'=aux+a2cty'=y(10)2'= z[ct'= a2ix +a22ct由间隔不变性有c2112-(x12+ y12+22)=c22 -(x2 + y2 +22)(a2ix+a2ct) -[(ax+a2ct) + y2+22=cp -(x2+ y +22)=-比较系数，有[a2i -ai = -1(11)a2i22-aa12= 0[a -az =1注意到x和x轴同向，应取α，O，而t和t的正向相同（都是时间向未来增大），应有α2>0，由（11）式中第一和第三式ar=/1+a](12)[a2=/1+d代入（11）式中第二式，有7

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 7 () () ( ) ( ) () () ( ) () () 2 2222 22 2 2 2 2 22 2 0 Δ = Δ −Δ −Δ −Δ = Δ −Δ = Δ − Δ = s ct x y z ct x ct vt z 4 由间隔不变性 2 '2 ' 00 00 4 4 zz zz = ⇒ =± 由变换的连续性， ' 0 0 z z = ，所以 ( ) ' 0 22 22 2 2 ' ' 1 / z ct t t cv cv v c Δ Δ Δ= = = − − − （9） 可见 Δ >Δ t t ' 。 三、Lorentz 变换 正如经典时空观集中反映在 Galileo 变换一样，相对论时空观集中反映在从一个惯性系 到另一个惯性系的时空坐标变换式——Lorentz 变换。 为简单起见，选两坐标系的 x 和 x '轴都沿Σ'相对于Σ 的运动方向。设第一事件发生在 零时刻，且在坐标原点处（零时刻两坐标系具有相同的坐标原点），第二事件在 Σ 中以 ( ) x, yzt 表示，在Σ'以( ) x ', ', ', ' yzt 表示。注意到变换是线性的，可写为 11 12 21 22 ' ' ' ' x a x a ct y y z z ct a x a ct ⎧ = + ⎪ ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩ = + （10） 由间隔不变性有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 ct x y z ct x y z ' ''' − ++ = − ++ ( )( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 21 22 11 12 a x a ct a x a ct y z c t x y z ⇒ + − + ++ = − ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 比较系数，有 2 2 21 11 21 22 11 12 2 2 22 12 1 0 1 a a aa aa a a ⎧ − =− ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ − = （11） 注意到 x 和 x ' 轴同向，应取 11 a > 0 ，而t 和t ' 的正向相同（都是时间向未来增大），应有 22 a > 0 ，由（11）式中第一和第三式 2 11 21 2 22 12 1 1 a a a a ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = + ⎩ （12） 代入（11）式中第二式，有

电动力学讲稿●第六章狭义相对论a2i/1+=/1+ia2(13)= (1+)=(1+) = =代回（13）式，有(14)a2i=ai2对于参照系Z'的原点应用变换（10）式中第一式，有O=avt+a,ct2=(15)cair由（12）式中第一式a=/1+=/1+=y1+(v/c)=i=1+(v/c)a-(16)au:Vi-(v/c)由（15)、（16）和（14）式-v/c(17)ai2=a211-(v/c)"由（12）式中第二式1(18)a1-(v/c)"将（16)、（17）和（18）式代入变换（10）式x'+vt'x-vt1beC2y'=yy'=y(19)其反变换为-1=2Z=2t'+3v2c2C-反变换与原变换相比，V→-V。（19）中的两式称为Lorentz变换。2ZDEx.2在右图所示的系统中，设Z'相对于Z的运动速度为X0.8c，在Z上观察，1秒后闪光信号同时被P和P2接收到，P求P，和P,接收到信号在Z上的时刻和位置。00'8

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 8 2 2 21 12 21 12 a a aa 1 1 + =+ （13） ( )( ) 2 2 22 2 2 21 12 21 12 21 12 ⇒ + =+ ⇒ = a a aa a a 1 1 代回（13）式，有 21 12 a a = （14） 对于参照系Σ'的原点应用变换（10）式中第一式，有 11 12 0 = a vt a ct + 12 11 a v a c = − （15） 由（12）式中第一式 ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 11 21 12 11 11 11 a a a vc a a vc a = + = + = + ⇒ =+ 1 1 1/ 1/ ( ) 11 2 1 1 / a v c ⇒ = − （16） 由（15）、（16）和（14）式 ( ) 12 21 2 / 1 / v c a a v c − = = − （17） 由（12）式中第二式 ( ) 22 2 1 1 / a v c = − （18） 将（16）、（17）和（18）式代入变换（10）式 2 2 2 2 2 ' 1 ' ' ' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c ⎧ − = ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎪ − ⎩ 其反变换为 2 2 2 2 2 ' ' 1 ' ' ' ' ' 1 x vt x v c y y z z v t x c t v c ⎧ + = ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎪ ⎪ − ⎩ （19） 反变换与原变换相比，v v → − 。（19）中的两式称为 Lorentz 变换。 Ex. 2 在右图所示的系统中，设 Σ' 相对于 Σ 的运动速度为 0.8c，在Σ 上观察，1 秒后闪光信号同时被 P1 和 P2 接收到， 求 P1 和 P2 接收到信号在Σ'上的时刻和位置

电动力学讲稿●第六章狭义相对论解：Pi接收到信号在上的空时坐标为（c,0,0,1)，根据Lorentz变换，这一事件在'上的空时坐标为x-vtc-Vcx!V1-v2/c23V1-v?/c?y'=02=0t-vx/c?1-v/c_13Vi-v2 /c2i-y2/c?即P,接收到信号在Z'上的空时坐标为(c/3,0,0,1/3)。Pz接收到信号在上的空时坐标为（-c,0,0,1)，由Lorentz变换，这一事件在Z'上的空时坐标为(-3c,0,0,3)。P和P2接收到信号这两个事件在Z和上，有(As) = -4c2Z:A=0Ax=2cAr'=-31_10(As)=-4c22':4Ar'=3可见，在相对论，时间、空间距离、同时性等是相对的，但两事件间隔是绝对的。9

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 9 解：P1 接收到信号在Σ 上的空时坐标为(c, 0, 0,1) ，根据 Lorentz 变换，这一事件在Σ'上的 空时坐标为 22 22 2 22 22 ' 1/ 1/ 3 ' 0 ' 0 / 1/ 1 ' 1/ 1/ 3 x vt c v c x vc vc y z t vx c v c t vc vc ⎧ − − === ⎪ − − ⎪ ⎪⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ − − ⎪ === ⎪⎩ − − 即 P1 接收到信号在Σ'上的空时坐标为(c / 3, 0, 0,1/ 3) 。 P2 接收到信号在Σ 上的空时坐标为(−c, 0, 0,1) ，由 Lorentz 变换，这一事件在Σ'上的 空时坐标为( ) −3 , 0, 0, 3 c 。 P1 和 P2 接收到信号这两个事件在Σ 和Σ'上，有 ( ) ( ) 2 2 2 2 :0 2 4 3 10 ': ' ' ' 4 8 3 t xc s c t x cs c ⎧Σ Δ = Δ = Δ =− ⎪ ⎨ ⎪Σ Δ =− Δ = Δ =− ⎩ 可见，在相对论，时间、空间距离、同时性等是相对的，但两事件间隔是绝对的

电动力学讲稿●第六章狭义相对论$3相对论的时空理论一、相对论时空结构讨论某惯性系中的两事件（0，0，0，0）和（x，y，z，1)，其间隔为s?=cf-x2-y2-2?=c2-r2其中r2=x2+y2+2?为两事件的空间距离。以间隔，可以划分为三种情况1）若两事件以光波联系，则s~=0；2）若两事件以低于光速的物理过程联系，则r203）若两事件的空间距离超过光波在时间1传播的距离，则r2>c2t2=s20，即rct，P点与O点不能用光波或低于光速的物理过程联系，这类间隔称为类空间隔。也称P点与O点绝对异地。这种划分是绝对的，不因参照系的变换而变化，即如果在某个惯性参照系中P点（事件）在光锥内，则在任何惯性参照系中仍在光锥内。类时区域分为两部分，由于Lorentz变换保持时间正向（流向）不变（注意（10）式中a22>0)，因此上光锥和下光锥不能相互变换，即若事件P在上光锥内，则在任何惯性系，事件P都将在上光锥内。所以，对于类时间隔，可分为两类：绝对未来，P在上光锥内；绝对过去，P在下光锥内。10

电动力学讲稿●第六章 狭义相对论 10 §3 相对论的时空理论 一、相对论时空结构 讨论某惯性系中的两事件（0，0，0，0）和（x，y，z，t），其间隔为 2 22 2 2 2 22 2 s ct x y z ct r = −−−= − 其中 2 2 22 r xyz =++ 为两事件的空间距离。以间隔，可以划分为三种情况 1） 若两事件以光波联系，则 2 s = 0 ； 2） 若两事件以低于光速的物理过程联系，则 2 22 2 r ct s 0； 3） 若两事件的空间距离超过光波在时间 t 传播的距离，则 2 22 2 r ct s > ⇒ 0 ，即 r ct ，P 点与 O 点不能用光波或低于光速的物理过程 联系，这类间隔称为类空间隔。也称 P 点与 O 点绝对异地。 这种划分是绝对的，不因参照系的变换而变化，即如果在某个惯性参照系中 P 点（事 件）在光锥内，则在任何惯性参照系中仍在光锥内。 类时区域分为两部分，由于 Lorentz 变换保持时间正向（流向）不变（注意（10）式中 a22 > 0），因此上光锥和下光锥不能相互变换，即若事件 P 在上光锥内，则在任何惯性系， 事件 P 都将在上光锥内。 所以，对于类时间隔，可分为两类：绝对未来，P 在上光锥内；绝对过去，P 在下光锥 内