《电动力学》课程授课教案（讲稿）第三章 静磁场

电动力学讲稿·第三章静磁场第三章静磁场“静”意味着所有物理量不随时间变化。s1矢势及微分方程一、矢势Maxwell方程中，关于磁场的两个方程aDVxH=j,+atv.B=0引入一矢量场A，使得处处满足B=VxA(1)A自然满足V.(V×A)=0as,矢势的物理意义（P.100）磁通量：J, B.ds=-J,VxA.ds=f A.di上式也说明，穿过一曲面的磁通量与曲面的形状没有关系（如右图，穿过S，和S，的磁通量Si相等)，只决定于曲面的边界。这是由于B的ds无源性导致的（磁感应线必须闭合）。二、规范条件矢势具有任意性，对于一任意（可微）函数，V×(A+VP)=V×A表明矢势A与磁感应强度B不能一一对应。要使它们对应，需要加入辅助（限制）条件，比如，除了要求势满足（1）式，还要求它满足V.A=0(2)这个条件称为规范条件。1

电动力学讲稿●第三章 静磁场 1 第三章 静磁场 “静”意味着所有物理量不随时间变化。 §1 矢势及微分方程 一、 矢势 Maxwell 方程中，关于磁场的两个方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = + B 0 t D H J f G G G G G 引入一矢量场 A G ，使得处处满足 B A G G = ∇ × （1） z A G 自然满足 ∇ ⋅(∇ × A) = 0 G z 矢势的物理意义（P. 100） 磁通量： ∫ ∫ ∫ ⋅ = ∇ × ⋅ = ⋅ S S L B ds A ds A dl G G G G G G 上式也说明，穿过一曲面的磁通量与曲面的形 状没有关系（如右图，穿过 1 S 和 2 S 的磁通量 相等），只决定于曲面的边界。这是由于 B G 的 无源性导致的（磁感应线必须闭合）。 二、 规范条件 矢势具有任意性，对于一任意（可微）函数ψ ， A A G G ∇ × ( + ∇ϕ) = ∇ × 表明矢势 A G 与磁感应强度 B G 不能一一对应。 要使它们对应，需要加入辅助（限制）条件，比如，除了要求矢势满足（1）式，还要 求它满足 ∇ ⋅ A = 0 G （2） 这个条件称为规范条件

电动力学讲稿·第三章静磁场讨论：.规范条件的选择不是唯一的。三、矢势满足的微分方程Vx(V×A)=V×B=Vx(uH)=μ(VxH)=μ J由公式（P.343，1.25式）V×(V×j)= V(V.j)-V?j利用规范条件（2）Vx(V×A)=V(V.A)-VA=-?A矢势满足的微分方程V?A=-ujU(3)·分量形式V?A, =-μ J,(i = 1, 2, 3)(4)四、矢势的边值关系由[n-(B, -B)= 0nx(H, -H)=a,可得矢势的边值关系n·(V×A,-V×A)=0(5)nx(1vx4-v×4)=α(12上述边值关系运用在数学上较麻烦，矢势的边值关系还可以写为较简单的形式A = A(6)证明：7对于右图所示的（红线）回路（△I很小）$A.di -(A2, - A,)I当回路宽度趋于0时，fA.dl -[B.ds -→0A2, = Al(7)U由规范条件V.A=0，可得2

电动力学讲稿●第三章 静磁场 2 讨论： z 规范条件的选择不是唯一的。 三、 矢势满足的微分方程 A B H H J K G G G G ∇ × (∇ × ) = ∇ × = ∇ × (μ ) = μ(∇ × ) = μ 由公式（P. 343，I. 25 式） f f f G G G 2 ∇ × (∇ × ) = ∇(∇ ⋅ ) − ∇ 利用规范条件（2） A A A A G G G G 2 2 ∇ × (∇ × ) = ∇(∇ ⋅ ) − ∇ = −∇ 矢势满足的微分方程 ⇒ A J K K ∇ = −μ 2 （3） z 分量形式 ( 1, 2, 3) 2 ∇ Ai = −μ Ji i = （4） 四、 矢势的边值关系 由 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × − = ⋅ − = n H H f n B B α K K K K K K K ( ) ( ) 0 2 1 2 1 可得矢势的边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ∇ × − ∇ × ⋅ ∇ × − ∇ × = n A A f n A A α μ μ K G G K G G K 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 0 （5） 上述边值关系运用在数学上较麻烦，矢势的边值关系还可以写为较简单的形式 A2 A1 K K = （6） 证明： 对于右图所示的（红线）回路（ Δl 很小） A dl A A l ⋅ = t − t Δ ∫ ( ) 2 1 G G 当回路宽度趋于 0 时， ⋅ = ⋅ → 0 ∫ ∫ A dl B dS G G G G ⇒ A2t = A1t (7) 由规范条件 ∇ ⋅ A = 0 K ，可得

电动力学讲稿●第三章静磁场A2n = Aln(8)由（7）和（8）式可以得（6）式。#矢势与磁感应强度五、注意到电势满足的微分方程为o=-PZ60电势的解3[P(x)dv"04元0比较（4）式，所以YJ(x')dv)A= A(x)=(9)iX4元rr为源点P到场点P的距离。J(X)μVxB= V×A(X)= -d4元)()a-(1T=B=[()xavr34元／这即是Biot-Savart 定律。六、 静磁场的能量·静磁场的总能量W=-[B.HdV =[(V× A)- Hdv22利用P.343公式（1.21）V.(fxg)=(Vxj).g-f-(Vxg)有H·(V×A)=(V×H).A-V·(H×A)，利用数学中的高斯定理3

电动力学讲稿●第三章 静磁场 3 A2n = A1n (8) 由（7）和（8）式可以得（6）式。 ＃ 五、 矢势与磁感应强度 注意到电势满足的微分方程为 0 2 ε ρ ∇ ϕ = − 电势的解 ∫ = r x dV 4 0 ( ') ' πε ρ ϕ K 比较（4）式，所以 ∫ ⇒ = r J x dV A x ( ') ' 4 ( ) K K K K π μ （9） r 为源点 P' 到场点 P 的距离。 ∫ ∫ ∫ ⎟× = − × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ = ∇ × = ∇ × ( ') ' 4 ( ') ' 1 4 ' ( ') 4 ( ) 3 J x dV r r J x dV r dV r J x B A x K K G K K K K K K K π μ π μ π μ ' 3 ( ') 4 dV r J x r B ∫ × ⇒ = G K K K π μ 这即是 Biot-Savart 定律。 六、 静磁场的能量 z 静磁场的总能量 ∫ ∫ W = B ⋅ HdV = ∇ × A ⋅ HdV K K G K ( ) 2 1 2 1 利用 P. 343 公式（I. 21） ( f g) ( f ) g f ( g) G G G G G G ∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ − ⋅ ∇ × 有 H ( A) ( H) A (H A) K G K G K G ⋅ ∇ × = ∇× ⋅ − ∇ ⋅ × ，利用数学中的高斯定理

电动力学讲稿·第三章静磁场W-[(V×A) HdV-[×H).A-.(H×A)vJ(VH).Adv-.(H×A)dv.AV-f(x).ds2上述积分趋于是磁场存在的全空间，所以，在区域表面上没有磁场（H=0），所以电流系统激发的静磁场的总能量[A.JdW=(10)2J电流J与外磁场的相互作用能（电流放在外磁场中的能量）设外磁场A.由电流J激发，电流J激发的磁场为A，静磁场的总能量为[(A+A,).(J+J.)dVW=-[-Ja+[4.J.d+[A.-J2前两项分别是J，和J单独存在时的能量，相互作用能JA. Jdv +[A.J.dvW, =注意到A()=()dV4TA.(3)=共[(1)dv4元又

电动力学讲稿●第三章 静磁场 4 [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ − × ⋅ = ∇ × ⋅ − ∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ = ∇ × ⋅ − ∇ ⋅ × J AdV H A dS H AdV H A dV W A HdV H A H A dV ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 G G K G K G K G G K K G K G 上述积分趋于是磁场存在的全空间，所以，在区域表面上没有磁场（ H = 0 G ），所以 电流系统激发的静磁场的总能量 ∫ W = A⋅ JdV K K 2 1 （10） z 电流 J K 与外磁场的相互作用能（电流放在外磁场中的能量） 设外磁场 Ae G 由电流 e J K 激发，电流 J K 激发的磁场为 A G ，静磁场的总能量为 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + A JdV A J dV A J dV A J dV W A A J J dV e e e e e e K K K K K K K K K K K K 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 前两项分别是 e J K 和 J K 单独存在时的能量， 相互作用能 ∫ ∫ Wi = Ae ⋅ JdV + A⋅ JedV K K K K 2 1 2 1 注意到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ r J x dV A x r J x dV A x e e ( ') ' 4 ( ) ( ) 4 ( ') K K K K K K K K π μ π μ 又

电动力学讲稿●第三章静磁场(3()d.j()dvJA·Jav="4元Jr-1 ( [dvr=JJ.(x).A(")dV-JA.J.dV电流和外场的相互作用能量为W, =J.A.dV(11)Ex.1 (P. 104)Ex.2(P.105)5

电动力学讲稿●第三章 静磁场 5 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ = ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ = A J dV J x A x dV dV r J x dV J x J x dV r J x dV A JdV e e e e e G K K G K K K G K K K G K K K K ( ') ( ') ' ' ( ) 4 ( ') ( ) ( ') ' 4 π μ π μ 电流和外场的相互作用能量为 ∫ Wi = J ⋅ AedV K K （11） Ex. 1 （P. 104） Ex. 2 （P. 105）

电动力学讲稿·第三章静磁场$2磁标势引子：对于静磁场，引入矢势A，求解静磁场问题变为求解矢势A。但是，矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？复习：静电场之所以能用标势描述，是因为VxE=-OBat对于静电场VxE=0静电场是无旋场SE.di=0可引入标势，它与电场强度满足E=-Vp磁标势的引入aDVxH-J,+at对于静磁场VxH=J不能一般地引入标势。但是，如果选取的空间区域不存在」，，则VxH=0(1)在这样的区域，有SH.di=0(2)可以引入磁标势H=-VPm(3)结论：只能在无传导电流的空间引入磁标势。实际上，（2）式要求，在考察空间中的任何回路都不能链环电流。对于如右图所示的电流环，选择仅仅扣除电流环的空间是不行的，因为，在这样的空间，存在可以链环电流环的回路。考察的空间可以选为扣除曲面S的空间。6

电动力学讲稿●第三章 静磁场 6 §2 磁标势 引子：对于静磁场，引入矢势 A K ，求解静磁场问题变为求解矢势 A K 。 但是，矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？ 复习：静电场之所以能用标势描述，是因为 t B E ∂ ∂ ∇ × = − K K 对于静电场 ∇ × E = 0 K 静电场是无旋场 ∫ ⇒ E ⋅ dl = 0 K K 可引入标势，它与电场强度满足 E = −∇ϕ K 一、 磁标势的引入 t D H J f ∂ ∂ ∇ × = + K K K 对于静磁场 f H J K K ∇ × = 不能一般地引入标势。但是，如果选取的空间区域不存在 f J K ，则 ∇ × H = 0 K （1） 在这样的区域，有 ∫ H ⋅ dl = 0 K K （2） 可以引入磁标势 H = −∇ϕ m K （3） 结论：只能在无传导电流的空间引入磁标势。 实际上，（2）式要求，在考察空间中的任何回 路都不能链环电流。 对于如右图所示的电流环，选择仅仅扣除 电流环的空间是不行的，因为，在这样的空间， 存在可以链环电流环的回路。考察的空间可以 选为扣除曲面 S 的空间

电动力学讲稿·第三章静磁场二、 磁荷由V.B=μoV·(H+M)=0V.H=-V.M定义（假想）磁荷密度Pm=-u.V.M(4)所以V.H-Pm(5)o由H=-Vpm，得V'gm=-Pn(6)o结论：磁标势也满足Poisson方程。三、静电场与静磁场的类比备注静电场静磁场VxE=0VxH=0无旋场是引入标势的前提V.E=Pr+ppV.H-Pm静磁场中没有“自由磁荷”项o60Pp=-V.pPm=-u.V.M“磁荷”来源于介质的磁化D=E+PB=μH+μoME=-VQH=-VPmP,+Pp_PmV?Pm=-V"=-60o讨论：7

电动力学讲稿●第三章 静磁场 7 二、 磁荷 由 ∇ ⋅ B = 0∇ ⋅(H + M ) = 0 K K K μ H M K K ⇒ ∇ ⋅ = −∇ ⋅ 定义（假想）磁荷密度 m M K ≡ − ∇ ⋅ ρ μ 0 （4） 所以 μ 0 ρ m ∇ ⋅ H = K （5） 由 H = −∇ϕ m K ，得 0 2 μ ρ ϕ m ∇ m = − （6） 结论：磁标势也满足 Poisson 方程。 三、 静电场与静磁场的类比 静 电 场 静 磁 场 备注 ∇ × E = 0 K ∇ × H = 0 K 无旋场是引入标势的前提 0 ε ρ f ρ P E + ∇ ⋅ = K μ 0 ρ m ∇ ⋅ H = K 静磁场中没有“自由磁荷”项 P P G ρ = −∇ ⋅ m M K = − ∇ ⋅ ρ μ 0 “磁荷”来源于介质的磁化 D E P G G G = ε 0 + B H M K K K = μ 0 + μ 0 E = −∇ϕ G H = −∇ϕ m K 0 2 ε ρ ρ ϕ f + P ∇ = − 0 2 μ ρ ϕ m ∇ m = − 讨论：

电动力学讲稿·第三章静磁场1）关于磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。但是，B=μH对于线形磁介质成立，不能用于铁磁介质（如磁铁），此时B不是H的单值函数（磁滞回线），B与H的关系由磁化过程决定。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。2）磁化（可以认为）是介质中分子电流环形成规则排列。把分子电流环等价为磁偶极子，这种磁偶极子磁荷间距离趋于0，，不能用任何面分开磁荷（否则存在磁单极子）。3）介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。Ex.11（P.109）Ex.2(P. 110)Ex.3(P.112)8

电动力学讲稿●第三章 静磁场 8 1） 关于磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。但是， B H K K = μ 对于线形磁介质成 立，不能用于铁磁介质（如磁铁），此时 B K 不是 H G 的单值函数（磁滞回线）， B K 与 H G 的 关系由磁化过程决定。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。 2） 磁化（可以认为）是介质中分子电流环形成规则排列。把分子电流环等价为磁偶极子， 这种磁偶极子磁荷间距离趋于 0，.不能用任何面分开磁荷（否则存在磁单极子）。 3） 介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。 Ex. 1 （P. 109） Ex. 2 （P. 110） Ex. 3 （P. 112）

电动力学讲稿●第三章静磁场$3磁多极矩研究对象：空间局部分布的电流在远处所激发的磁场。引子：前面研究了分布在有限（局部）空间的电荷在空间激发的电场的电势·带电系统二点电荷十电偶极子+电四极子十带电系统：总电量一一点电荷描述，电荷分布一一电多极子描述不同的电荷分布，其电多极矩可能是不本Z相同的，电多极矩甚至依赖于坐标系的选取。r矢势的多极展开、7R静磁场的矢势0才()=[)dv(7)Y4元rKr=反-刘，设区域限度远小于R，有X国>例，可将三展开，利用公式4a2(-)=()-*f(x)+xf(x) +..ax,2!ax,axiij1双为小量，展开二，有rA()= 4[) av4元a2:11-*v!+-[J(x)dv(8)x,xj+...R21jxaxR4元R= A() ()+ A (x) + A(2) () +..·展开式第一项A0)()=[(d4元R激发静磁场的必须是恒定电流，由电流的连续性方程（电荷守恒定律）P+V.j=0at对于恒定电流V.J=0电流密度在空间任意点的散度为0，意味着所有电流均形成闭合“电流管”，由于积分区域要包含所有电流，所以所有电流管均在积分区间内。9

电动力学讲稿●第三章 静磁场 9 §3 磁多极矩 研究对象：空间局部分布的电流在远处所激发的磁场。 引子：前面研究了分布在有限(局部)空间的电荷在空间激发的电场的电势。 z 带电系统 ＝ 点电荷 ＋ 电偶极子 ＋ 电四极子＋ . z 带电系统：总电量——点电荷描述，电荷分布——电多极子描述 z 不同的电荷分布，其电多极矩可能是不 相同的，电多极矩甚至依赖于坐标系的选 取。 一、 矢势的多极展开 静磁场的矢势 ∫ = ' ' 0 ( ) 4 ( ) dV r J x A x K K K K π μ (7) r x x' G G = − ，设区域限度远小于 R ，有 x x' G G >> ，可将 r 1 展开，利用公式 ' ' ( ) . 2! 1 ( ) ( ) ' ( ) 2 + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ′ = −∑ ∑ i j i i j i i i f x x x f x x x x f x x f x x K K K K K x' G 为小量，展开 r 1 ，有 ( ) ( ) ( ) . . 1 ' ' 2! 1 1 1 ( ) 4 ( ) 4 ( ) (0) (1) (2) ' 2 0 ' ' ' 0 = + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∂ = − ′ ⋅∇ + = ∫ ∑ ∫ A x A x A x dV x x R x x R x R J x dV r J x A x ij i j i j K K K K K K K K K K K K K π μ π μ （8） z 展开式第一项 ( ) ' 4 ( ) (0) 0 J x dV R A x ∫ = ′ K K K K π μ 激发静磁场的必须是恒定电流，由电流的连续性方程（电荷守恒定律） + ∇ ⋅ = 0 ∂ ∂ J t ρ K 对于恒定电流 ∇⋅ J = 0 K 电流密度在空间任意点的散度为 0，意味着所有电流均形成闭合“电流管”，由于积分区域 要包含所有电流，所以所有电流管均在积分区间内

电动力学讲稿●第三章静磁场对每个电流管[J(x'dv'= fIdi = Idi = 0 A(0) =0(9)展开式第二项(=-J(x)x'.VdyR4元恒定电流（非恒定电流不可以）可以分为许多闭合流管（闭合流管可以看成线圈），对于某一线圈，由J(xdv'=Idi=xai=di=Holbx'-Rdi4元了R34元R34元R注意到，双为线管上各点坐标，di=d，所以0= d [(x.R)x']= f(x"R)dx'+ f(dx-R)x=f(x".R)dx'= -f(dx"R)x"所以f(".R)di"-[".R)di"-(di"R)x]-(xxdi)xR上面的推导利用了p.341公式（I.3)：(axb)xc=(c·a)b-(c.b)a。所以，对于该（小）线管f(x'×di)xR=HomxRA)=14元R324元R3其中,S(x'xdi)m(10)2对于体电流分布xJ(x)dv)(11)m=2（11）式自动过渡到整个电流体系。展开式第二项为A)=0mxR(12)4元R3讨论：对于一小线圈，围成的面积为10

电动力学讲稿●第三章 静磁场 10 对每个电流管 ∫ ∫ ∫ J (x′)dV '= Idl = I dl = 0 K K K K 0 (0) ⇒ A = K （9） z 展开式第二项 ' 1 ( ) 4 (1) 0 dV R A = − J x ′ x ′ ⋅∇ ∫ K K K K π μ 恒定电流（非恒定电流不可以）可以分为许多闭合流管（闭合流管可以看成线圈）， 对于某一线圈，由 J (x )dV ' Idl ' K K G ′ = ∫ ∫ ∫ = − ′ ⋅∇ = ′ ⋅ = ′ ⋅ ' 4 ' 4 ' 1 4 3 0 3 (1) 0 0 x R dl R I dl R R x I dl R x I A G G K G G K G K K π μ π μ π μ 注意到， x' G 为线管上各点坐标， dl ' dx' G G = ，所以 [ ] ∫ ∫ ∫ = d x′ ⋅ R x′ = x′ ⋅ R dx + dx ⋅R x′ K K G G K K K K K 0 ( ) ( ) ' ( ' ) ∫ ∫ ⇒ x′ ⋅ R dx = − dx ⋅R x′ K K G G K K ( ) ' ( ' ) 所以 x R dl [ ] x R dl dl R x x dl R G G K K K K K K K K K K ′ ⋅ = ′ ⋅ ′ − ′ ⋅ ′ = ′× ′ × ∫ ∫ ∫( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ' 上面的推导利用了 P. 341 公式（I. 3）： a b c c a b c b a G G G G G G G G G ( × )× = ( ⋅ ) − ( ⋅ ) 。 所以，对于该（小）线管 3 0 3 (1) 0 4 ( ') 4 2 R m R x dl R I R A K K K K K K × = ′× × = ∫ π μ π μ 其中， ∫ = ( ′× ') 2 x dl I m G K K （10） 对于体电流分布 ( ) ' 2 1 m x J x dV ∫ = ′× ′ K K K K （11） （11）式自动过渡到整个电流体系。 展开式第二项为 3 (1) 0 4 R m R A K K K × = π μ （12） 讨论： 对于一小线圈，围成的面积为