《电动力学》课程授课教案（讲义）第四章 电磁波的传播

第四章电磁波的传播84.1平面电磁波1、电磁场的波动方程（1）真空中在p=0，J=0的自由空间中，电磁强度E和磁场强度H满足波动方程VE-1E(4.1.1)=0c?at?VH-LOA=0(4.1.2)c2at?式中1=2.997925×10*米/秒(4.1.3)CsVeoMo是光在真空中的速度（2）介质中当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数?和磁导率μ一般地都随电磁波的频率变化，这种现象叫色散。这时没有E和H的一般波动方程，仅在单色波（频率为の）的情况下才有VE-10E2=0(4.1.4)v?at?VH-OH=0(4.1.5)v? at?式中

第四章 电磁波的传播 §4.1 平面电磁波 1、电磁场的波动方程 （1）真空中 在  = 0 ， J = 0  的自由空间中，电磁强度 E  和磁场强度 H  满足波动方程 0 1 2 2 2 2 =    − t E c E   （4.1.1） 0 1 2 2 2 2 =    − t H c H   （4.1.2） 式中 8 0 0 2.997925 10 1 = =    c 米/秒 （4.1.3） 是光在真空中的速度。 （2）介质中 当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数  和磁导率  一般地都随电磁波 的频率变化，这种现象叫色散。这时没有 E  和 H  的一般波动方程，仅在单色波 （频率为  ）的情况下才有 0 1 2 2 2 2 =    − t E v E   （4.1.4） 0 1 2 2 2 2 =    − t H v H   （4.1.5） 式中

1v(0) :(4.1.6)Je(0)u(a)是频率の的函数。2、亥姆霍兹方程在各向同性的均匀介质内，假设p=0，J=0，则对于单色波有E(r,t)= E(r)e-ix(4.1.7)H(r,t)= H(r)e-io(4.1.8)这时麦克斯韦方程组可化为V?E+E=0, (k=)(4.1.9)V.E=0(4.1.10)H=-IVxE(4.1.11)Mo（4.1.9）式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了V·E=0的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足V·E=0时，才是麦克斯韦方程的解。3、单色平面波亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波E(r,t)= Ege(r-a)(4.1.12 )H(r,1)= He(kr-a)(4.1.13 )式中为波失量，其值为=0/u=2元(4.1.14)元平面波在介质中的相速度为p=S(4.1.15)k"Jeu:式中和u一般是频率の的函数

( ) ()()  1 v = （4.1.6） 是频率  的函数。 2、亥姆霍兹方程 在各向同性的均匀介质内，假设  = 0 ， J = 0  ，则对于单色波有 ( ) ( ) i t E r t E r e −  =     , （4.1.7） ( ) ( ) i t H r t H r e −  =     , （4.1.8） 这时麦克斯韦方程组可化为  E + k E = 0, (k = ) 2 2   （4.1.9）   E = 0  （4.1.10） E i H   = −   （4.1.11） （4.1.9）式称为亥姆霍兹方程。由于导出该方程时用到了   E = 0  的条件，因此， 亥姆霍兹方程的解只有满足   E = 0  时，才是麦克斯韦方程的解。 3、单色平面波 亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波 ( ) i(k r t) E r t E e  − =      0 , （4.1.12） ( ) i(k r t) H r t H e  − =      0 , （4.1.13） 式中 k  为波矢量，其值为     2 k = = （4.1.14） 平面波在介质中的相速度为   1 = = k vP （4.1.15） 式中  和  一般是频率  的函数

算符和~-作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化at为a=-i0V=ik,(4.1.16)atOE=-10E.即V×E=xE，V.E=.E，而at电场和磁场的关系为EnxEH=.(4.1.17)Vu式中n，为波传播方向上的单位失量。4、电磁波的能量和能流电磁波的能量密度为E·D+H·B(4.1.18)0=对于单色平面波有sE?=H?，故 = E? = μH?(4.1.19)单色平面波的能流密度为三Ex(ixE)= 0VS=ExH=,(4.1.20 )Vu对时间平均的能流密度为S-IRe(E×H)EEn(4.1.21)211

算符  和 t  作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化 为 i t ik = −    = , （4.1.16） 即 E ik E     =  ， E ik E      =  ，而 E i E t   = −    。 电场和磁场的关系为 H n E    =    （4.1.17） 式中 k k n   = ，为波传播方向上的单位矢量。 4、电磁波的能量和能流 电磁波的能量密度为 (E D H B)     =  +  2 1  （4.1.18） 对于单色平面波有 2 2 E = H ，故 2 2  = E = H （4.1.19） 单色平面波的能流密度为 S E H E (n E) v           =  =   = （4.1.20） 对时间平均的能流密度为 S (E H ) E n     2 0 * 2 1 Re 2 1   =  = （4.1.21）

84.2电磁波在介质交界面上的反射和折射如图1-3-1所示，取2两介质的交界面为xy平An介质2面，z轴从介质1指向介质2。设平面电磁波从介1.4介质1081K质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的图1-3-1电场强度分别为入射波: E,= Eroe(--a)(4.2.1)反射波:E,=Eioe(-a)(4.2.2 )折射波：E,=E20e(F-a)(4.2.3 )1、反射定律和折射定律电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律(4.2.4)0, = 0)Je212sinok2(4.2.5)-nsine,k,VeA式中n2,为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质μ=μo，故可得62(4.2.6 )n21Ve2、反射波和折射波的振幅（1）菲涅耳公式

§4.2 电磁波在介质交界面上的反射和折射 如图 1-3-1 所示，取 两介质的交界面为 xy 平 面，z 轴从介质 1 指向介 质 2。设平面电磁波从介 质 1 入射到交界面上，入 射波、反射波和折射波的 电场强度分别为 入射波： i(k r t) i E E e  − =     1 10 （4.2.1） 反射波： i(k r t) r E E e  − =     ' 1 ' 10 （4.2.2） 折射波： i(k r t) i E E e  − =     2 20 （4.2.3） 1、反射定律和折射定律 电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律 ' 1 = 1 （4.2.4） 21 1 1 2 2 1 2 2 1 sin sin n k k       = = （4.2.5） 式中 21 n 为介质 2 相对于介质 1 的折射率。除铁磁质外，一般介质   0 ，故可 得 1 2 21   n = （4.2.6） 2、反射波和折射波的振幅 （1）菲涅耳公式

按入射波电失量的振幅E分下列三种情形：（i）E垂直于入射面Elo = -ssin(@ -0,)(4.2.7)Erosin(@, +0,)E20 =2 cos0, sin 0,(4.2.8)Erosin(@, +0,)（i）E平行于入射面Elo =ttan(e, -0,)(4.2.9 )Eotan(e, +, )E20 2 cos0, sin 0,(4.2.10)E1。 sim(, +0, )cos(0, -0, )（ii）E.与入射面斜交把三个波的电矢量的振幅(E。）E201Eio1n2都分解为垂直于入射面的分量E。O-和平行于入射面的分量(E。），如图B20E10-n121-3-2所示，即oB10NE1EEIo= E1or + Eo(4.2.11 )图1-3-2Eio = Eio+ + Eiol(4.2.12)E2o = E20 + E201(4.2.13)结果得出，E和E2都只与E有关：而E和E0则都只与Eo有关。具体关系如下：Eon --in(ea-a)E(4.2.14)sin(@, +0,)2sin 0, cos0l EiolE20(4.2.15 )sin(0, +0,)

按入射波电矢量的振幅 E10  分下列三种情形： （i） E10  垂直于入射面 ( ) ( ) 1 2 1 2 10 ' 10 sin sin     + − = − E E （4.2.7） ( ) 1 2 1 2 10 20 sin 2cos sin     + = E E （4.2.8） （ii） E10  平行于入射面 ( ) ( ) 1 2 1 2 10 ' 10 tan tan     + − = E E （4.2.9） ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 10 20 sin cos 2cos sin       + − = E E （4.2.10） （iii） E10  与入射面斜交 把三个波的电矢量的振幅 ( ) E0  都分解为垂直于入射面的分量 E0⊥  和平行于入射面的分量 ( ) E0 //  ，如图 1-3-2 所示，即 E10 E10 E10//    = ⊥ + （4.2.11） ' 10// ' 10 ' E10 E E    = ⊥ + （4.2.12） E20 E20 E20//    = ⊥ + （4.2.13） 结果得出， ' E10⊥  和 E20⊥  都只与 E10⊥  有关；而 ' E10 //  和 E20//  则都只与 E10 //  有关。具体 关系如下： ( ) ( ) ⊥ ⊥ + − = − 10 1 2 ' 1 2 10 sin sin E E       （4.2.14） ( ) ⊥ ⊥ + = 10 1 2 2 1 20 sin 2sin cos E E       （4.2.15）

tan(e -)i x Erol(4.2.16)n, ×Eio =tan(0, +0.)2sin9,cos0,n, Ezou =sin(o. +0,)os(0 -0.)"(4.2.17)n, ×E10可见（i）和(ii)是（ii）的两种特殊情况。（2）反射和折射产生的偏振由（4.2.16）式可知，在6,+0，=90°的情况下，E平行于入射面的分量没有反射波，因而反射波便是E垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒斯特定律，这时的入射角称为布儒斯特角，其值为62, = tan'l (4.2.18)V3、全反射由折射定律知，当电磁波从ε较大的介质(s）)入射到较小的介质(s2.时，sin,>n21。这时,就是复数，因而不再具有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律sin e,_ k2sine,k仍然成立。这时折射波为E, = E2oe-h /sin * 0, - n2,= - el(ksin,-a)(4.2.19 )是沿交界面×方向传播的电磁波。它的振幅沿z轴方向指数衰减。当振幅衰减到交界面上的振幅的一时，沿z方向的距离为

( ) ( ) 1 10// 1 2 ' 1 2 10// ' 1 tan tan n E n E      + −  =     （4.2.16） ( ) ( ) 1 10// 1 2 1 2 2 1 2 20// sin cos 2sin cos n E n E      + −  =       （4.2.17） 可见（i）和(ii)是（iii）的两种特殊情况。 （2）反射和折射产生的偏振 由（4.2.16）式可知，在 0 1 + 2 = 90 的情况下， E  平行于入射面的分量没 有反射波，因而反射波便是 E  垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒 斯特定律，这时的入射角称为布儒斯特角，其值为 1 1 2 tan    − b = （4.2.18） 3、全反射 由折射定律知，当电磁波从  较大的介质 ( ) 1  入射到  较小的介质 ( ) 2 1    的交界面上时，折射角  2 大于入射角  1 ，当 1 21 sin  = n 时，  2 变为 0 90 ，这时的 入射角称为临界角，其值为 1 2 1 0 sin    − = 。 若入射角再增大，当 1  0 时， 1 21 sin   n 。这时  2 就是复数，因而不再具 有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律 1 2 2 1 sin sin k k =   仍然成立。这时折射波为 k i(k x t) i E E e n z e    − − = −  1 1 1 2 sin 1 21 2 20 sin   （4.2.19） 是沿交界面 x 方向传播的电磁波。它的振幅沿 z 轴方向指数衰减。当振幅衰减到 交界面上的振幅的 e 1 时，沿 z 方向的距离为

1八(4.2.20 )20ki sin e, -n12元 /sin*0,-n2在一般情况下，z。和波长同数量级。因此在发生全反射时，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度为-.的薄层内。当，>.时，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，对时间平均来说，入射波的能量全部被反射，所以叫做全反射

2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 0 sin 2 sin 1 k n n z − = − =     （4.2.20） 在一般情况下， 0 z 和波长 1 同数量级。因此在发生全反射时，折射波的能 量主要集中在交界面附近厚度为 0 z 的薄层内。当 1  0 时，反射波的平均能流 密度等于入射波的平均能流密度。因此，对时间平均来说，入射波的能量全部被 反射，所以叫做全反射

84.3有导体存在时电磁波的传播1、导体的弛豫时间在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度p出现时，就会引起电流流动。p(t)与时间t的关系为p0)- Ppe = pe(4.3.1 )式中是导体的电导率。T=%，叫做导体的弛豫时间，它等于β值减小到P6的时间。在交变场中，只要电磁波的频率の满足a>(4.3.2)0就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。2、导体内的电磁波对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为VxE=iouh(4.3.3)VxH=-i0sE(4.3.4)V.E=0(4.3.5)V.H=0(4.3.6)式中6'=6+/℃(4.3.7)Q叫做导体的复介电常数由（4.3.3）一（4.3.6）可得导体内的亥姆霍兹方程为V?E+k?E=0(4.3.8)

§4.3 有导体存在时电磁波的传播 1、导体的弛豫时间 在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度  出 现时，就会引起电流流动。 (t) 与时间 t 的关系为 ( )       t t t e e − − = 0 = 0 （4.3.1） 式中  是导体的电导率。    = ，叫做导体的弛豫时间，它等于  值减小到   0 的时间。 在交变场中，只要电磁波的频率  满足 1   （4.3.2） 就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。 2、导体内的电磁波 对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为 E i H    =  （4.3.3） H i E   '  = −  （4.3.4）   E = 0  （4.3.5）   H = 0  （4.3.6） 式中      + i ' （4.3.7） 叫做导体的复介电常数。 由（4.3.3）—（4.3.6）可得导体内的亥姆霍兹方程为 0 2 2  E + k E =   （4.3.8）

k=oleu(4.3.9)这时k是一个复矢量，设k=β+ia(4.3.10 )则方程（3.3.8）的单色波解为E(r,1)= Epe-ar .e (bar-a)(4.3.11)其中k的实部β称为周相常数，虚部α称为衰减常数。如图1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上，zx平面为入射面则由边值关系ko, =k, =0kox=k=β+iαx可得z/i(3, B,)导体unX-介质6Y图1-3-3(4.3.12)α=(o, 0,α),β=(ksin0, 0, β.)其中Vo'sμ- sin?0) +o"μ?? -(osu-ksin(4.3.13)X(o*cμ- k sin?0)B=osusin0++(4.3.14)23、穿透深度

   ' k = （4.3.9） 这时 k  是一个复矢量，设      k = + i （4.3.10） 则方程（3.3.8）的单色波解为 ( ) r i( r t) E r t E e e −  − =         0 , （4.3.11） 其中 k  的实部   称为周相常数，虚部   称为衰减常数。 如图 1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上， zx 平面为入射面。 则由边值关系 x x x x k0 = k =  + i ， k0 y = k y = 0 可得  = (0, 0,)  ， ( sin , 0, ) 0 z  = k    （4.3.12） 其中  (    )    (    ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 sin 2 1 sin 2 1 = − k + − − k （4.3.13）  (    )    (    ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 sin 2 1 sin 2 1 k k z = − + + − （4.3.14） 3、穿透深度

当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得ou(4.3.15)α=β=V2这时，透射波的振幅随z作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的－时，沿eZ方向经过的距离定义为穿透深度28=1(4.3.16)=αVouo

当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得 2   =  = （4.3.15） 这时，透射波的振幅随 z 作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的 e 1 时，沿 z 方向经过的距离定义为穿透深度    1 2  = （4.3.16）