《电动力学》课程授课教案（讲稿）第一章 电磁现象的普遍规律

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律第一章 电磁现象的普遍规律S1电荷和电场库仑定律QQ'F=-4元80元·描述两个点电荷的相互作用力…·（库仑力）。库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的，一般在静电现象中（“静”指O不随时间而变），难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论：当电荷随时间而变时，两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷在其周围激发电场，其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。关于电场、电场强度（板画）一个点电荷O激发电场，现要描述在位置处的电场。现置入一采用检验电荷Q’，去检测电场强度，定义电场强度FQEQ'4元电场强度是指单位电荷受到的作用力。问题：何谓检验电荷（检验电荷意味着什么）？讨论：?实际上并不存在严格的点电荷，一般带电体具有一定体积，电荷也存在一定分布（（单个电子是否存在电荷分布没有科学定论），在置入O'后，将导致原电荷分布发生变化。故要求Q'足够小，使得这种变化可以忽略。F·上式中，E可以用于一般的带电系统（单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体），?Q它提供了一种从实验测量电场强度的方法（只要，O'足够小），（考虑到带电系统总存在电F与E总存在差异，当Q→0时，与E严格相同。但是，如果带电系统是荷分布，）Q'g'-

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 1 第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 r r QQ F G G 3 4πε 0 ′ = z 描述两个点电荷的相互作用力.（库仑力） z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的，一般在静电现象中 (“静”指Q 不随时间而变)，难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论；当电荷 随时间而变时，两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷 在其周围激发电场，其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。 关于电场、电场强度 （板画）一个点电荷Q 激发电场，现要描述在位置 r G 处的电场。现置入一采用检验电荷 Q′，去检测电场强度，定义电场强度 r r Q Q F E G G G 3 4πε 0 = ′ ≡ 电场强度是指单位电荷受到的作用力。 问题：何谓检验电荷（检验电荷意味着什么）？ 讨论： z 实际上并不存在严格的点电荷，一般带电体具有一定体积，电荷也存在一定分布（(单 个电子是否存在电荷分布没有科学定论)，在置入Q′后，将导致原电荷分布发生变化。故要 求Q′足够小，使得这种变化可以忽略。 z 上式中， Q F E ′ ≡ G G 可以用于一般的带电系统（单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体）， 它提供了一种从实验测量电场强度的方法（只要，Q′足够小），（考虑到带电系统总存在电 荷分布，） Q F ′ G 与 E G 总存在差异，当Q'→ 0 G 时， Q F ′ G 与 E G 严格相同。但是，如果带电系统是

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律F与E严格相同（不需要当→0)。严格的点电荷，对于有限大小的O"，Q'0采用E=一产提供了从理论上计算电场强度的方法，在这个表达式中，无需置入4元6rQ，Q激发的电场并不发生改变，但他只能用于单个点电荷激发的电场。问题：对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场，从理论上应该如何计算？多点电荷激发的电场运用叠加原理ZE=1i4元8。1P(x, y,z)宏观带电体激发的电场（电荷连续分布）采用电荷密度p(r)描述带电体电荷分布，它表示单位体积内包含的电量。体积元dv→0，p(x）dv可视为点电荷，运用y叠加原理有[p(r)rdyXE=4元80rGauss定理、电场的散度考查一个点电荷Q激发的电场，0E-4元8.r作一包含该电荷的封闭曲面S，计算积分（电场通量）OdsSE.ds=+r.ds4元0S0rcoseds4元rQdo4元8059-602

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 2 严格的点电荷，对于有限大小的Q′， Q F ′ G 与 E G 严格相同（不需要当Q'→ 0 G ）。 采用 r r Q E G G 3 4πε 0 = 提供了从理论上计算电场强度的方法，在这个表达式中，无需置入 Q′，Q 激发的电场并不发生改变，但他只能用于单个点电荷激发的电场。 问题：对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场，从理论上应该如何计算？ z 多点电荷激发的电场 运用叠加原理 = ∑ i i i i r Q r E 3 0 4 1 G G πε z 宏观带电体激发的电场（电荷连续分布） 采用电荷密度 (r′) G ρ 描述带电体电荷分布，它表 示单位体积内包含的电量。 体积元 dv → 0 ， ( ) x' dv G ρ 可视为点电荷，运用 叠加原理有 ( ) ∫ ′ = v r r rdv E 3 4πε 0 ρ G G G 二、 Gauss 定理、电场的散度 考查一个点电荷Q 激发的电场， r r Q E G G 3 4πε 0 = 作一包含该电荷的封闭曲面 S ，计算积分（电场通量） 0 0 2 0 3 0 4 cos 4 4 ε πε θ πε πε Q d Q dS r Q r dS r Q E dS S S S S = = Ω = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ G G G G

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律讨论：1)。fE·S=不仅对于单个点电荷成立，对于多个点电荷和连续分布的宏观带60电体也是成立的（可以证明），Q应该是封闭曲面（Gauss面）S包含的总的电荷。2)：f后·ds=称为 GausS定理（积分形式)，它的成立与库仑定律的平方反比关S80系密切相关：对于其他平方反比关系的物理量（如万有引力），也有类似的规律。为了导出Gauss定理的微分形式，需要利用数学中的散度定理：对某一矢量A，有$A·ds=[V·Ady（数学上要求在V中的空间各点，A是连续可微的：√是一矢量微商a%+.%，矢量的敢度为算子，在直角坐标系下有√=é+é"ax1eOzyayaadivA=V.A--A+-A,+（自行证明））。对于电场，任选一Gauss面，有A.O2ax"xOfE.ds-Q[(v.E)dv =[Pdv（p表示电荷分布密度）60V60sJ(V.E-P)dV=060Gauss面S是任意选取的，所以V具有任意性且可以任意缩小，故V.E-P60这就是Gauss定理的微分形式。讨论：1)．微分形式是关于空间点的关系式，是关于电场的局域（空间某点及其邻域）关系式，表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关，要在某一空间区域使用Gauss定理的微分形式，要求在该区域内空间各点，电场强度是连续可微的；而Gauss定理的积分形式是关于某一有限空间区域的关系式，它的使用，并不要求这一区域的电场在空间各点连续可微。2)。√E是E的散度，它表示空间某点是否“有源”。如果有源，作一包含电荷的小体积元△V，一定有“净”电力线穿过（源为正电荷情形，源为负电荷情形）。3）：（实验表明）Gauss定理的微分形式不仅对于静电场成立，对于随时间变化的电磁场也是成立。这里我们可以看到，尽管Gauss定理是由库仑定律导出，但是库仑定律并不能用于随时间变化的电场（如运动电荷、随时间变化的带电系统O(t）情形）。其实，一3

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 3 讨论：1). 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 不仅对于单个点电荷成立，对于多个点电荷和连续分布的宏观带 电体也是成立的（可以证明），Q 应该是封闭曲面（Gauss 面） S 包含的总的电荷。 2). 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 称为 Gauss 定理（积分形式），它的成立与库仑定律的平方反比关 系密切相关；对于其他平方反比关系的物理量（如万有引力），也有类似的规律。 为了导出 Gauss 定理的微分形式，需要利用数学中的散度定理:对某一矢量 A G ,有 ∫ ∫ ⋅ = ∇ ⋅ S V A ds Adv G G G （数学上要求在V 中的空间各点， A G 是连续可微的；∇ 是一矢量微商 算子，在直角坐标系下有 z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = G G G ，矢量 A G 的散度为 x y Az z A y A x divA A ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ∇ ⋅ = G G （自行证明））。对于电场，任选一 Gauss 面，有 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G ⇒ ∫ ∫ ∇ ⋅ = V V E dV dV 0 ( ) ε G ρ ( ρ 表示电荷分布密度) ⇒ ∫ ∇ ⋅ − = V ( E )dV 0 0 ε G ρ Gauss 面 S 是任意选取的，所以V 具有任意性且可以任意缩小，故 0 ε ρ ∇ ⋅ E = G 这就是 Gauss 定理的微分形式。 讨论： 1). 微分形式是关于空间点的关系式，是关于电场的局域（空间某点及其邻域） 关系式，表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关，要在某一空间区域使用 Gauss 定理的微分形式，要求在该区域内空间各点，电场强度是连续可微的；而 Gauss 定理的积 分形式是关于某一有限空间区域的关系式，它的使用，并不要求这一区域的电场在空间各 点连续可微。 2). E G ∇ ⋅ 是 E G 的散度，它表示空间某点是否“有源”。如果有源，作一包含电荷 的小体积元 ΔV ，一定有“净”电力线穿过（源为正电荷情形，源为负电荷情形）。 3). （实验表明）Gauss 定理的微分形式不仅对于静电场成立，对于随时间变化的 电磁场也是成立。这里我们可以看到，尽管 Gauss 定理是由库仑定律导出，但是库仑定律 并不能用于随时间变化的电场（如运动电荷、随时间变化的带电系统Q(t) 情形）。其实，一

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律般地讲，Gauss定理的积分形式也是不能用于随时间变化的电场的（思考：为什么对于库仑定理、Gauss定理积分形式不能用于随时间变化的电场？注意电场的传播速度是有限的，存在推迟效应）三、静电场的旋度在静电场存在的空间选取一闭合回路L，考查电场（对这一回路）的环量rr.diQfE.di -134元80dl0srcosedldr4元。r39fdr4元8。1r2QQ_$d(-)4元8。2=0其中为与dl 的夹角。运用数学中的斯托克斯定理：对一矢量A有A·di=[[(V×A)·dS（S是以L为边界的1曲面，要求A在面S上是连续可微的），对于电场E，任选一回路L有fE.di =0 = {[(VxE)-dS=0注意到S具有任意性且可以任意缩小，故divE=VxE=0讨论：1).如果有一检验电荷q，则有qE·di=0，电场力做功为0，静电场是保守力-场。E·di=0和2).多点电荷的带电体系和连续分布的带电体，只要是静电场，LV×E=0均成立。6E.di=0是关于3).微分形式√×E=0是关于空间点的局域关系式，而一般地，L有限空间的关系式。4).对于静电场，在空间各点√×E=0表示电力线不能闭合（静电场是无旋场）。5).√×E=0和6E·di=0对于变化的电场是不成立的（后面要讲）。.LEx.P104

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 4 般地讲，Gauss 定理的积分形式也是不能用于随时间变化的电场的（思考：为什么对于库仑 定理、Gauss 定理积分形式不能用于随时间变化的电场? 注意电场的传播速度是有限的，存 在推迟效应） 三、 静电场的旋度 在静电场存在的空间选取一闭合回路 L ，考查电场（对这一回路）的环量 0 ) 1 ( 4 4 cos 4 4 0 2 0 3 0 3 0 = = − = = ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L L L L L r d Q r Q dr r Q r dl r Q r dl E dl πε πε θ πε πε G G G G 其中θ 为r G 与 dl G 的夹角。 运用数学中的斯托克斯定理：对一矢量 A G 有 ∫ ∫∫ ⋅ = ∇ × ⋅ L S A dl A dS G G G G ( ) （ S G 是以 L 为边界的 曲面，要求 A G 在面 S G 上是连续可微的），对于电场 E G ，任选一回路 L 有 ⋅ = 0 ∫ L E dl G G ⇒ (∇ × )⋅ = 0 ∫∫ S E dS G G 注意到 S G 具有任意性且可以任意缩小，故 divE = ∇ × E = 0 G G 讨论：1). 如果有一检验电荷 q G ，则有 ⋅ = 0 ∫ L qE dl G G ，电场力做功为 0，静电场是保守力 场。 2). 多点电荷的带电体系和连续分布的带电体，只要是静电场， ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 和 ∇ × E = 0 G 均成立。 3). 微分形式∇ × E = 0 G 是关于空间点的局域关系式，而一般地， ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 是关于 有限空间的关系式。 4). 对于静电场，在空间各点∇ × E = 0 G 表示电力线不能闭合（静电场是无旋场）。 5). ∇ × E = 0 G 和 ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 对于变化的电场是不成立的（后面要讲）。 Ex. P10

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律小结：1)静电场的求解：179E:对于分离分布的多点电荷系统4元。4P[p(r')rdvE=对于电荷连续分布系统14元80元以上是直接由电荷分布求解静。fE.ds_定理求解电场，此时一般需要带电系统具有另外，还可以采用GaussS60较高的对称性。2).静电场的性质：V.E-PVxE=080SE.dl=0E.as-dL2[Js60静电场是一矢量场，对于一个矢量场，其最基本的性质是矢量场的散度和旋度。静电场的旋度在空间各点为零，表明静电场是一个保守力场（电场力做功与路径无关），描述静电场的电力线是不能闭合的（注意电力线是假想的，是描述电场的辅助手段）。5

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 5 小结： 1). 静电场的求解： 对于分离分布的多点电荷系统 = ∑ i i i i r Q r E 3 0 4 1 G G πε 对于电荷连续分布系统 ( ) ∫ ′ = v r r rdv E 3 4πε 0 ρ G G G 以上是直接由电荷分布求解静。 另外，还可以采用 Gauss 定理 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 求解电场，此时一般需要带电系统具有 较高的对称性。 2). 静电场的性质： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ∇ ⋅ = ∫S Q E dS E ; ; 0 0 ε ε ρ K K K ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ∇ × = ∫ L E dl E 0 0 K K G 静电场是一矢量场，对于一个矢量场，其最基本的性质是矢量场的散度和旋度。静电场的 旋度在空间各点为零，表明静电场是一个保守力场（电场力做功与路径无关），描述静电场 的电力线是不能闭合的（注意电力线是假想的，是描述电场的辅助手段）

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律$2电流和磁场一、电荷守恒定律引言：前面我们研究了不随时间变化的带电系统，电荷是静止的，他们将激发电场，如果电荷运动，又将会怎样？在电磁学中，我们知道可以用电流强度来描述电荷的运动（提问：电流强度的定义？板画：导体中的电流。）电流强度—一单位时间通过某一截面的电荷总量-doI = lim0t采用物理量电流强度描述电流十分粗糙：1、带电粒子的运动在空间各点可能存在一定的分布。导体中的稳恒电流是均勾分布的但是如果电流随着时间变化，则可能不再是均匀分布，实验表明交频电流通过导体时存在趋肤效应；其实运动电荷系统是多样的，对于在真空中运动的大量带电粒子系统难以用电流强度进行描述（板画：作“定向”运动的带电粒子系统可以存在不均匀分布；作“宏观无规”运动的带电粒子系统难以用电流强度描述）2、提问：电流强度是矢量还是标量？（根据如上定义的）电流强度没有方向（分析：也不可以为电流强度定义方向。板画：以导体中的电流为例，选一任意截面，过截面的带电粒子不具有单一运动方向（由于热运动），电流强度并未刻画电荷的运动方向），但是，带电粒子的运动却是有的。为了解决这一问题，需引入电流密度（P11）：方向为电流方向（正电荷运动方向），大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。电流密度与电流强度的关系：dl = J.ds[J.ds1=讨论：1、J(F,t)是对空间点定义的（而电流强度是对于一有限面定义的），他并不ds要求通过一有限面的带电粒子的速度（方向）一致（如有图）。2、对于一种运动带电粒子形成的电流J=pv。推导：如上图，设截面面积为△S，斜方体的长度为△/=v△t，所有粒子的速度均为，速度与截面法向的夹角为，则斜方体体积为△V=△S/cos=v△S△tcos，设带电粒子的电荷密度为p，斜方体中含有电荷△O=p△V=pv△S△tcos，在△t时间内，AV中的电荷全部穿过AS，则电流强度NI=pvAScose。注意到Atdl=j-ds可以改写为dl=JdScosQ，所以J=pv。考虑到方向，可以改写为矢量形式。6

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 6 §2 电流和磁场 一、 电荷守恒定律 引言：前面我们研究了不随时间变化的带电系统，电荷是静止的，他们将激发电场，如 果电荷运动，又将会怎样？ 在电磁学中，我们知道可以用电流强度来描述电荷的运动（提问：电流强度的定义？ 板画：导体中的电流。） 电流强度——单位时间通过某一截面的电荷总量 dt dQ t Q I t = Δ Δ = Δ →0 lim 采用物理量电流强度描述电流十分粗糙： 1、带电粒子的运动在空间各点可能存在一定的分布。导体中的稳恒电流是均匀分布的， 但是如果电流随着时间变化，则可能不再是均匀分布，实验表明交频电流通过导体时存 在趋肤效应；其实运动电荷系统是多样的，对于在真空中运动的大量带电粒子系统难以 用电流强度进行描述（板画：作“定向”运动的带电粒子系统可以存在不均匀分布；作 “宏观无规”运动的带电粒子系统难以用电流强度描述） 2、提问：电流强度是矢量还是标量？（根据如上定义的）电流强度没有方向（分析： 也不可以为电流强度定义方向。板画：以导体中的电流为例，选一任意截面，过截面的 带电粒子不具有单一运动方向（由于热运动），电流强度并未刻画电荷的运动方向），但 是，带电粒子的运动却是有的。 为了解决这一问题，需引入电流密度（P11）：方向为电流方向（正电荷运动方向）， 大小为单位时间垂直通过单位面积的电量。 电流密度与电流强度的关系： dI J dS K K = ⋅ ⇒ ∫ = ⋅ S I J dS K K 讨论：1、 J (r,t) K G 是对空间点定义的（而 电流强度是对于一有限面定义的），他并不 要求通过一有限面的带电粒子的速度（方 向）一致（如有图）。 2、对于一种运动带电粒子形成的电 流 J v K K = ρ 。 推导：如上图，设截面面积为 ΔS ，斜方体的长度为 Δl = vΔt ，所有粒子的速度 均为v G ，速度与截面法向的夹角为θ ，则斜方体体积为 ΔV = ΔSΔl cosθ = vΔSΔt cosθ ， 设带电粒子的电荷密度为 ρ ，斜方体中含有电荷 ΔQ = ρΔV = ρvΔSΔt cosθ ，在 Δt 时 间内， ΔV 中的电荷全部穿过 ΔS ，则电流强度 = Δ Δ Δ = t Q I ρvΔS cosθ 。注意到 dI J dS K K = ⋅ 可以改写为 dI = JdS cosθ ，所以 J = ρv 。考虑到方向，可以改写为矢量 形式

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律对于多种粒子形成的电流：J-p,考查电荷系统存在的某一空间区域V，在单位时间里流出该区域总（正）电荷=6j·dS0. v)=-%v,故而在单位时间里区域V中总的（正）电荷的减少=Jvataty[avdsat(P+V.)dV=0opj.ds -{.dv+[(v.j)dv = ]dvJvatJvatatV注意到区域V的任意性，且可以任意缩小，所以有ap+V.J=0at这是电荷守恒定律的微分形式，也称电流的连续性方程。（连续性的解释：散度与源的关系）电荷守恒定律的积分形式为$j.ds+1%dv =0Jyat。电荷守恒（P12）是目前人们知道的自然界的精确规律之一。。关于微分形式和积分形式的区别讨论：1）特殊情形一：（考查积分形式）当V为无穷大时（实际在物理上，仅需要足够大），在界面上的为零，所以有「dv=0→d=0=」L,pdV = const. (不atJvJvat随时间而变），这表示全空间总电荷守恒。2）特殊情形二：（考查微分形式）对于恒定电流（“恒定”与静电场的“静”在物理上都指物理量不随时间而变）有，√J=0，这表示（描述电流的）电流线必定闭合，没有发源点和终止点（反之如果有发源点或终止点，在这些点处的√·J≠0。3）电荷守恒定律表示（在考查区域）总的电荷守恒，它并不表示“电荷不能产生，也不能消失”（例如用射线照射真空，可以产生正负电子对，而正负电子对也可以灭而放出光子）；或者讲，没有分别关于正、负电荷的守恒定律。二、 Biot-Savart定律Z 个电流可以激发磁场，实验表明：对于电流分布为J(x)的稳恒电流系统，其激发的磁场满足xBiot-Savart定律（1820年）B()=()xavY4元／3Lx7

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 7 对于多种粒子形成的电流： i i i J v K K = ∑ρ 考查电荷系统存在的某一空间区域V ，在单位时间里流出该区域总（正）电荷 ∫ = ⋅ S J dS K K ， 而在单位时间里区域V 中总的（正）电荷的减少 ∫ ∫ ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − V V dV t dV t ρ ( ρ ) ，故 ∫ ∫ ∂ ∂ ⋅ = − S V dV t J dS K K ρ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + ∇ ⋅ = ∂ ∂ + ∇ ⋅ = ∂ ∂ + ⋅ = ∂ ∂ V V V V S J dV t dV J dV t dV J dS t ( ) ( ) 0 ρ K K ρ K ρ K 注意到区域V 的任意性，且可以任意缩小，所以有 + ∇ ⋅ = 0 ∂ ∂ J t ρ K 这是电荷守恒定律的微分形式，也称电流的连续性方程。（连续性的解释：散度与源的关系） 电荷守恒定律的积分形式为 = 0 ∂ ∂ ⋅ + ∫ ∫ S V dV t J dS K K ρ z 电荷守恒（P12）是目前人们知道的自然界的精确规律之一。 z 关于微分形式和积分形式的区别 讨论： 1） 特殊情形一：（考查积分形式）当V 为无穷大时（实际在物理上，仅需要足够大），在界 面上的 J K 为零，所以有 = 0 ∂ ∂ ∫V dV t ρ ⇒ = 0 ∂ ∂ ∫V dV t ρ ⇒ ∫ = V ρdV const.（不 随时间而变），这表示全空间总电荷守恒。 2） 特殊情形二：（考查微分形式）对于恒定电流（“恒定”与静电场的“静”在物理上都指 物理量不随时间而变）有，∇ ⋅ J = 0 K ，这表示（描述电流的）电流线必定闭合，没有 发源点和终止点（反之如果有发源点或终止点，在这些点处的∇ ⋅ J ≠ 0 K 。 3） 电荷守恒定律表示（在考查区域）总的电荷守恒，它并不表示“电荷不能产生，也不能 消失”（例如用γ 射线照射真空，可以产生正负电子对，而正负电子对也可以湮灭而放 出γ 光子）；或者讲，没有分别关于正、负电荷的守恒定律。 二、 Biot-Savart 定律 电流可以激发磁场，实验表明：对于电流分 布为 J (x) K K 的稳恒电流系统，其激发的磁场满足 Biot-Savart 定律（1820 年） ∫ ′ ′ × = V dV r J x r B x 3 0 ( ) 4 ( ) K K K K K π μ

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律"o为真空磁导率，J（"）（与时间无关）描述源点处的电流密度，『是场点与源点x的距离，下=x-x，积分遍及电流分布区域（即V应包含所有电流）。对于通电细导线（回路），（板画）设导线横截面为dS，，电流元的长度为dl，Jdv' = Jas,dl = Jds,di = IdlBiot-Savart定律写为B() = Ho ldi ×F34元／三、磁场的旋度和散度B.di =μol（对于静电场有E·di=0)安培环路定律：由斯托克斯定理得其微分形式VxB=μoj说明，电流激发的磁场旋度（在电流存在的空间）不为零。在电磁学中，已经知道，磁力线没有起点和终点，即描述磁场的磁力线一定是闭合曲线（对于任意的封闭曲面，如果有一条磁力线穿出，则必定有一条要穿入）。在数学上可以表为$B.dS=0其微分形式为V.B=0散度为零表明磁感应强度B是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。以上从电磁学有关结论得到了静磁场的散度和旋度，其实，他们都可以从Biot-Savart定律导出。我们磁场旋度和散度公式的推导相关数学知识补充：1）√算子在球坐标下的形式注意到直角坐标下，在三个方向e、é,和e.上的微小位移分别为ox、y和oz，V算子表为ata.ataaV=é.+é+éxt ozeyoy在球坐标下，在三个方向é，、é。和é。上的三个微小位移分别为

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 8 μ 0为真空磁导率， J (x ) K K ′ （与时间无关）描述源点 x K ′ 处的电流密度，r K 是场点 x K 与源点 x K ′ 的距离， r x x' K G G = − ，积分遍及电流分布区域（即V 应包含所有电流）。 对于通电细导线（回路），（板画）设导线横截面为 dSn ，电流元的长度为 dl ， JdV JdS dl JdS dl Idl n n K K K K ′ = = = Biot-Savart 定律写为 ∫ × = L r Idl r B x 3 0 4 ( ) K K K K π μ 。 三、 磁场的旋度和散度 安培环路定律： B dl I ∫L ⋅ = μ 0 K K (对于静电场有 ∫ ⋅ = L E dl 0 K K ) 由斯托克斯定理得其微分形式 B J K K ∇ × = μ 0 说明，电流激发的磁场旋度（在电流存在的空间）不为零。 在电磁学中，已经知道，磁力线没有起点和终点，即描述磁场的磁力线一定是闭合曲 线（对于任意的封闭曲面，如果有一条磁力线穿出，则必定有一条要穿入）。在数学上可以 表为 ⋅ = 0 ∫S B dS K K 其微分形式为 ∇ ⋅ B = 0 K 散度为零表明磁感应强度 B K 是无“源”场，即不存在磁荷（磁单极子）。 以上从电磁学有关结论得到了静磁场的散度和旋度，其实，他们都可以从 Biot-Savart 定律导出。我们 磁场旋度和散度公式的推导 相关数学知识补充： 1）∇ 算子在球坐标下的形式 注意到直角坐标下，在三个方向 x e G 、 y e G 和 z e G 上的微小位移分别为∂x 、∂y 和∂z ，∇ 算 子表为 z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = G G G 在球坐标下， 在三个方向 r e G 、 ϕ e G 和 θ e G 上的三个微小位移分别为

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律[e方向：dre方向：rsinedpe方向：rde所以在球坐标下aaaV=é+e.+éOrroersing(P345I.37式)根据坐标变换也可由直角坐标下的形式得到球坐标下的形式（推导较为复杂）。1112) -=-é,"3r对于下=文一，只要微分算子√是对文作用，以上公式也是成立的。3）对于量A有V×(V×A)= V(V. A)-V?A（(P343I.25式）V.(V×A)=0（P3431.15式），(关于343页的矢量运算公式要熟记)现由Biot-Savart推导磁感应强度的散度和旋度。B=[()dv4元／=-[()×dvi4元fMoixJ(x)dV4元J()uovd4元（以上推导中注意A×B方向判定选择小角度）A0()dV'，则有B=VxA定义4元1利用矢量公式可得磁感应强度的散度√·B=0要计算磁感应强度的旋度，先计算.A=[()vdv"?4元／1（数学技巧）由于r=V(x-x)2+(y-y)+(z-z)29

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 9 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θ θ ϕ θ ϕ e rd e r d e dr r 方向： 方向： 方向： sin G G G 所以在球坐标下 θ θ ϕ θ ϕ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = rsin e r e r er G G G （P345 I.37 式） 根据坐标变换也可由直角坐标下的形式得到球坐标下的形式（推导较为复杂）。 2） r r r e r r G K 2 3 1 1 1 ∇ = − = − 对于 r = x − x′ K K K ，只要微分算子∇ 是对 x K 作用，以上公式也是成立的。 3) 对于矢量 A G 有 A A A K K K 2 ∇ × (∇ × ) = ∇(∇ ⋅ ) − ∇ （P343 I.25 式） ∇ ⋅(∇× A）= 0 K （P343 I.15 式）， (关于 343 页的矢量运算公式要熟记) 现由 Biot-Savart 推导磁感应强度的散度和旋度。 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ′ = ∇ × = ∇ × ′ = − ′ ×∇ ′ × = V V V V dV r J x J x dV r dV r J x dV r J x r B ' 4 ( ) ' 1 4 ' 1 4 ' 4 0 0 0 3 0 K K K K K K K K K K π μ π μ π μ π μ （以上推导中注意 A B K K × 方向判定选择小角度） 定义 ( ) ∫ ′ ≡ V dV r J x A ' 4 0 K K G π μ ，则有 B A K K = ∇ × 利用矢量公式可得磁感应强度的散度 ∇ ⋅ B = 0 K z 要计算磁感应强度的旋度，先计算 ( ) ∫ ∇ ⋅ = ′ ⋅∇ V dV r A J x ' 1 4 0 K K K π μ （数学技巧）由于 2 2 2 r = (x − x′) + ( y − y′) + (z − z′)

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律ad所以对x的微分运算与对x的微分运算仅差一负号（例如），注意到矢量运算公arax式:V.(PA)=V@.A+QV.A（P343，I.19式），有.A=-[(),dv4元r=-[()-]-.J(xdv4元／rr在恒定电流的前提下：V.J(x)=0，上式中被积函数第二项为零。.A·dS=V.Adx，所以上式中被积函数第一项为由（数学中的）高斯定理=[(.dsr4元／4元Lr由于积分区域V应包括所有电流，没有电流流出表面，所以上式亦为零，故有V.A=0..再计算=[(*av"=[(x).()dv"=-[(dy4元／r4元；4元／Irr当（即0）时，.二（课外练习：直接计算该式）=0+3当x=x（即r=0）时，对于包含该点的无穷小体积V"（该体积的微小曲面记为S"，可以取J(X)=J()V2A=- J(X)[.-dv134元V()-dv4元人VnCrHoJ()ds4元注意：F=X-，(最初)在积分V=- (3)[-dV"中，不变，变化的是，4元要处理的是当变化到文点的情形，所以需要考虑的积分区域是以文点为中心的无穷小体积V”，把该小积分区域取为为球心的小球体，其表面（法线）方向与的方向相反，所以有VA=-O (a)fdS= - J()d =-o(x)4元Sr4元S10

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 10 所以对 x 的微分运算与对 x′ 的微分运算仅差一负号（例如 x ∂x ∂ = − ∂ ∂ ' ），注意到矢量运算公 式： A A A H H H ∇ ⋅(ϕ ) = ∇ϕ ⋅ +ϕ∇ ⋅ （P343，I.19 式），有 ∫ ∫ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ∇′ ⋅ ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ∇′ ⋅ ∇ ⋅ = − ⋅∇ V V J x dV r r J x dV r A J x ( ) ' 1 1 ( ') 4 ' 1 ( ') ' 4 0 0 K K K K K K π μ π μ 在恒定电流的前提下：∇′ ⋅ J (x′) = 0 K ，上式中被积函数第二项为零。 由（数学中的）高斯定理 ∫ ∫ ⋅ = ∇ ⋅ S V A dS Ad x 3 K K K ，所以上式中被积函数第一项为 ∫ ∫ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∇ ⋅ V S dS r dV J x r J x G K K K K 1 ( ) 4 ' 1 ' ( ) 4 0 0 π μ π μ 由于积分区域V 应包括所有电流，没有电流流出表面，所以上式亦为零，故有 ∇ ⋅ A = 0 K 。 z 再计算 ∫ ∫ ∫ ∇ = ′ ∇ ′ = ′ ∇ ⋅ ∇ ′ = − ′ ∇ ⋅ ′ V V V dV r r dV J x r dV J x r A J x 3 2 0 2 0 0 ( ) 4 ) 1 ( ) ( 4 1 ( ) 4 K K K K K K π μ π μ π μ 当 x x K K ≠ ′（即 r ≠ 0 ）时， 0 3 ∇ ⋅ = r r K （课外练习：直接计算该式） 当 x x K = ′ （即 r = 0 ）时，对于包含该点的无穷小体积V " （该体积的微小曲面记为 S"， 可以取 J (x ) J (x) K K K K ′ = ∫ ∫ ∫ = ⋅ = ∇′ ⋅ ′ ∇ = − ∇ ⋅ ′ " 3 0 " 3 0 3 2 0 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 S V V dS r r J x dV r r J x dV r r A J x G K K K K K K G π μ π μ π μ 注意：r x x K K K = − ′ ，（最初）在积分 ∫ ∇ = − ∇ ⋅ ′ V dV r r A J x 3 2 0 ( ) 4 K K G π μ 中，x K 不变，变化的是 x' K ， 要处理的是当 x' K 变化到 x K 点的情形，所以需要考虑的积分区域是以 x K 点为中心的无穷小体 积V " ，把该小积分区域取为 x K 为球心的小球体，其表面（法线）方向与 r K 的方向相反， 所以有 ( ) ( ) 4 ( ) 4 0 " 0 '' 2 2 0 J x d J x r dS A J x S S K K K K K μ π μ π μ ∇ = − = − Ω = − ∫ ∫