《电动力学》课程授课教案（讲义）第五章 电磁波的辐射

第五章电磁波的辐射85.1电磁场的矢势和标势1.矢势和标势（1）矢势因为V.B=0，故存在矢势A，使得B=VxA(5.1.1)矢势A沿任一闭合环路L的线积分等于通过以L为边界的任意曲面S的磁通量，即fA.di - V×A.ds - {[B.ds =D(5.1.2)(2)标势由麦克斯韦方程组的×E+=0和（5.1.1）式得ataAVx(E+)CataA可见E+是无旋场，因此存在标势β，使得atEfA-V@at所以QAE=-Vo-(5.1.3 )at（3）用矢势和标势描述电磁场在宏观领域里，通常用E和B描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势A和

第五章 电磁波的辐射 §5.1 电磁场的矢势和标势 1. 矢势和标势 （1）矢势 因为  B = 0  ，故存在矢势 A  ，使得 B A   =  （5.1.1） 矢势 A  沿任一闭合环路 L 的线积分等于通过以 L 为边界的任意曲面 S 的磁通 量，即   =   =   =  L S S A dl A dS B dS       (5.1.2) (2) 标势 由麦克斯韦方程组的 = 0    + t B E   和（5.1.1）式得 ( ) = 0    + t A E   可见 t A E   +   是无旋场，因此存在标势  ，使得 = −   + t A E   所以 t A E   = − −    （5.1.3） （3）用矢势和标势描述电磁场 在宏观领域里，通常用 E B   和 描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势 A  和

标势β描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用A和β描述电磁场。2.规范变换（1）规范变换对于一个给定的电磁场，它的E和B都是确定的，但它的A和β却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。设(r,)为有连续二级偏微商的任意函数，则当A=A+Vy(5.1.4)ayp=p-(5.1.5 )at时，A，g与A,所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。（2）两种规范为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择√·A为某个值。这叫做选择规范。（a）库仑规范V.A=0(5.1.6)（b）洛伦兹规范V.A--O0(5.1.7)at3.势的微分方程在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得VA-1OA4-(V.A++%)--HJ(5.1.8)c? at?c2at

标势  描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用 A  和  描述电磁场。 2. 规范变换 （1）规范变换 对于一个给定的电磁场，它的 E B   和 都是确定的，但它的 A  和  却并不是确 定的，而是有一定程度的任意性。设 (r,t)   为有连续二级偏微商的任意函数，则 当 A = A +    ' （5.1.4） t  = −    ' （5.1.5） 时， , , ' ' A A   与 所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做 规范变换。 （2）两种规范 为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择 A   为某个值。 这叫做选择规范。 （a） 库仑规范  A = 0  （5.1.6） （b） 洛伦兹规范 c t A     = −  2  1 (5.1.7) 3. 势的微分方程 在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得 J c t A t A c A     2 2 0 2 2 2 ) 1 ( 1   = −   −    +    − （5.1.8）

a.V.A--P(5.1.9 )Vp+at6（1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为VA-104.1_0Vp=-μoj(5.1.10)catcatVp=-P(5.1.11)60这时，标势β与静电势相同，就是库仑势（2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为VA-10ACa=-j(5.1.12)0-1a0=-P(5.1.13)Vp-t60这时A和β满足相同的方程一一达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流j是A的波源，电荷p是β的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播

0 2      = −    + A t  （5.1.9） （1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为 J t c t A c A    2 2 0 2 2 2 1 1  = −   − −    − （5.1.10） 0 2     = − （5.1.11） 这时，标势  与静电势相同，就是库仑势。 （2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为 J t A c A    2 0 2 2 2 1 = −    − （5.1.12） 0 2 2 2 2 1     = −    − c t （5.1.13） 这时 A和  满足相同的方程——达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流 J A   是 的 波源，电荷 是 的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播

85.2推迟势设电荷和电流分布在体积V内，它们在处产生的势为rp(F,t-F-FV1(5.2.1)p(r,t) =dl4元80Ir-rJ(P,t-IF-FHorA(r,t)= 4(5.2.2 )dv4元F-r式中p和j分别表示e(i,t)-)时刻F-F!r'处t=tRA(F,)cp(:户的电荷密度和电流密度，参看图1-4-1。(5.2.1）和(5.2.2)两式表明，电荷和电流在距离为-引处产生势需要经过一段时间F-rt-1所以叫做推迟势。c1.振荡电流的推迟势和电磁场（1）振荡电流的推迟势若电流了是频率为の的振荡电流，即J(r,t)= J(r')e-iot(5.2.3 )则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为A(,t)=0[()e(-1-on)dv(5.2.4)4元：F-式中k=%。令A(F,1)=A(r")e-o",则

§5.2 推迟势 设电荷和电流分布在体积 V 内，它们在 r  处产生的势为  − − − = V dV r r c r r r t r t ' ' ' ' 0 | | ) | | ( , 4 1 ( , )           （5.2.1）  − − − = V dV r r c r r J r t A r t ' ' ' ' 0 ) | | ( , 4 ( , )           （5.2.2） 式中  和 J  分别表示 c r r r t t ' ' '    − 处 = − 时刻 的电荷密度和电流密 度，参看图 1-4-1。 （5.2.1）和（5.2.2） 两 式 表 明 ， 电 荷 和 电 流 在 距 离 为 ' r r   − 处 产 生 势 需 要 经 过 一 段 时 间 c r r t t ' '   − − = ，所以叫做推迟势。 1. 振荡电流的推迟势和电磁场 （1）振荡电流的推迟势 若电流 J  是频率为  的振荡电流，即 i t J r t J r e −  ( , ) = ( ) ' '    （5.2.3） 则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为 ' ' ( ) ' 0 ' ( ) 4 ( , ) dV r r J r e A r t V i k r r t  − = − −            （5.2.4） 式中 c k =  。令 i t A r t A r e −  ( , ) = ( ) ' '    ，则

A(r,1) = 0 [ (F")e*4F-7](5.2.5)dvF-r"4元（2）振荡电流外面的电磁场在振荡电流区域外面，j=0,p=0。这时，有了A，就可求出磁场B=VxA(5.2.6)再根据下式，便可求出电场E=cvxB(5.2.7 )0因此，这时只要知道矢势A，便可求出电磁场来。2.远区推迟势的多极展开设电流j(rt)=j(r")e-i分布在区域V内V的线度为l。如图1-4-2，在V内任取一点为坐标原点，这OFF-P时，r≤l。通常ra（波长）的地方叫做中区，把Fara>>>>/的地方叫做远区。图1-4-2在中区和远区，（5.2.5）式可展开为A(P)- 'oe () [- ke, -"-. av(5.2.8 )4元二是方向上的单位失量。式中e, =这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为A0(P)= 4e av =-ioemr(5.2.9 )-p4元4元式中p.是系统的电偶极矩p=Pe-io的振幅，即

' ' ' 0 ' ( ) 4 ( , ) dV r r J r e A r t V ik r r  − = −           （5.2.5） （2）振荡电流外面的电磁场 在振荡电流区域外面， J = 0,  = 0  。这时，有了 A  ，就可求出磁场 B A   =  （5.2.6） 再根据下式，便可求出电场 B ic E   =   2 （5.2.7） 因此，这时只要知道矢势 A  ，便可求出电磁场来。 2. 远区推迟势的多极展开 设电流 i t J r t J r e −  ( , ) = ( ) ' '    分布在区域 V 内， V 的线度为 l 。如图 1-4-2，在 V 内任取一点为坐标原点，这 时， r  l ' 。通常 r   （波长） 的 地 方 叫 做 中 区 ， 把 r    l 的地方叫做远区。 在中区和远区，（5.2.5）式可 展开为   0 ' ' ( ) 1 4 ( ) J r ike r dV r e A r V r ik r  = −  −         （5.2.8） 式中 r r er   = 是 r  方向上的单位矢量。 这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为 0 (0) 0 ' 0 4 4 ( ) p r i e dV r e A r ik r i r         = = − （5.2.9） 式中 0 p  是系统的电偶极矩 i t p p e −  = 0   的振幅，即

Po= [r p(F')dv(5.2.10)第二项为A(F) - ikoenkr[J(r')e, -r'dv4元r(5.2.11)ikueior(e, xmo +1~3, D.)4元6式中m是系统的磁矩m=me-ia的振幅，D是系统的电四极矩D-De-ia 的振幅，它们分别为(r"×J(r)dvmo =( 5.2.12 )和D= f.(3r'"=r2i)p(r")dv(5.2.13)

' ' ' 0 p r (r )dV V =     （5.2.10） 第二项为 ) 6 ( 4 ( ) 4 ( ) 0 0 0 (1) 0 ' ' ' e D i e m r ik e J r e r dV r ik e A r r r i r V r i k r           = −  +  =         （5.2.11） 式中 m0  是系统的磁矩 i t m m e −  = 0   的振幅， D   是系统的电四极矩 i t D De −  =     的振 幅，它们分别为  =  V m r J r dV ' ' ' 0 ( ) 2 1     （5.2.12） 和  = = V D r r r I r dV ' ' '2 ' ' (3 ) ( )         （5.2.13）

85.3电偶极辐射1.中远区的电偶极场由（5.2.9）式可求出振荡电偶极矩P产生的电磁场为BOG,1)=VxA0(,)= 00((ik1Dei(kr-en)e, ×po(5.3.1)Je4元ri℃×B((r,1)E(0)(r,t)=(5.3.2)K式中e.=，如图1-4-3所示。Po0图1-4-3若以p.为极轴，取球极坐标系，则由上面两式得iopaik(kr-on) singeH()(r,)=(5.3.3 )4元Lrik1k2ikPolerkr-on) cos oe, + PoE(0)(r,t)= -an)sinde2r32元起L4(5.3.4)2.电偶极辐射场对于远区的辐射场,可略去和项。这时,以P,方向为极轴取球极坐标，电偶极辐射场便为o'poEi(kr-on) sinQeg(5.3.5)4元℃o'p.oi(kr-et) sin Qe,H=(5.3.6)4元c

§5.3 电偶极辐射 1. 中远区的电偶极场 由（5.2.9）式可求出振荡电偶极矩 p  产生的电磁场为 0 ( ) 2 (0) (0) 0 ) 1 ( 4 ( , ) ( , ) e e p r r i ik B r t A r t r  i k r t      =  = − +  −   (5.3.1) ( , ) ( , ) (0) (0) B r t k ic E r t     =   (5.3.2) 式中 r r er   = ，如图 1-4-3 所示。 0 p  r r er   =  图 1-4-3 若以 0 p  为极轴，取球极坐标系，则由上面两式得      e e r r i p ik H r t  i k r t   sin 1 4 ( , ) ( ) 2 (0) 0 −       = − （5.3.3）          e e r ik r k r p e e r ik r p E r t i k r t r  i k r t    sin 1 4 cos 1 2 ( , ) ( ) 2 2 3 0 ( ) 0 3 2 0 (0) 0 − −       + −       = − （5.3.4） 2. 电偶极辐射场 对于远区的辐射场，可略去 2 3 1 1 r r 和 项。这时，以 0 p  方向为极轴取球极坐标， 电偶极辐射场便为       e e c r p E i k r t   sin 4 ( ) 2 0 0 2 − = （5.3.5）      e e cr p H i k r t   sin 4 0 ( ) 2 − = − （5.3.6）

平均辐射能流密度为o'p.3-IR,(E'xH)=32n'600,sin0e(5.3.7 )2平均辐射功率为opaP=(5.3.8)12元80c3

平均辐射能流密度为 e r e c r p S R E H         2 3 2 0 2 20 4 * sin 32 ( ) 21 =  = （5.3.7 ） 平均辐射功率为 3 0 20 4 12 c p P   = （5.3.8 ）

85.4磁偶极辐射和电四极辐射1.磁偶极辐射（5.2.11）式中的磁偶极辐射项为A(r,r) = ikoehtrikoei(kr-on)(5.4.1)é,xm=é,xmo4元4元由此得磁偶极辐射场为o'mE=ei(kr-ot)singe(5.4.2 )4元cmH=ei(kr-t) sin Qeg(5.4.3 )4元r磁偶极辐射的平均能流密度为o*m.'S(5.4.4 )sin0e,32元6gc5m2辐射功率为o'mo?P =(5.4.5)12元起c52.电四极辐射(5.2.11)式中的电四极辐射项为Ac,)-- khea,.B(5.4.6)24元定义矢量D为D=e.D(5.4.7)则得电四极辐射场为eikr(5.4.8)B(r,t)=Dxe,24元8c*

§5.4 磁偶极辐射和电四极辐射 1．磁偶极辐射 （5.2.11）式中的磁偶极辐射项为 0 ( ) 0 0 4 4 ( , ) e m r ik e e m r ik e A r r r i k r t r i k r       =  =  −      （5.4.1） 由此得磁偶极辐射场为       e e c r m E i k r t   sin 4 ( ) 3 0 0 2 − = （5.4.2）      e e c r m H i k r t   sin 4 ( ) 2 0 2 − = − （5.4.3） 磁偶极辐射的平均能流密度为 r e c r m S       2 5 2 0 2 2 0 4 sin 32 = （5.4.4） 辐射功率为 5 0 2 0 4 12 c m P   = （5.4.5） 2. 电四极辐射 (5.2.11)式中的电四极辐射项为 e D r ik e A r t r ik r      = −    24 ( , ) 0 (5.4.6) 定义矢量 D  为 D er D     =  (5.4.7) 则得电四极辐射场为 r ik r D e c r e B r t      =  4 24 0 ( , )   (5.4.8)

eikrE(r,t)=(5.4.9)-(Dxé,)xé24元6c*平均流密度为111_Re(E*×H)=(5.4.10)288元c-Pxe.S=e4元22

r r ik r D e e c r e E r t       = (  )  24 ( , ) 3   0 (5.4.9) 平均流密度为 r r D e e c r S E H       2 5 2 0 * 2881 4 1 Re( ) 21 =  =     (5.4.10)