《电动力学》课程授课教案（讲义）第一章 电磁现象的普遍规律

第一章电磁现象的普遍规律81.1电荷与电场1、库仑定律(r-p')0Q:（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷Q对另一个静止电荷0的作用力F为1QQF-(1.1.1)4元元图1-1-1式中.是真空介电常数。（2）电场强度E静止的点电荷Q在真空中所产生的电场强度E为r-r)E:(1.1.2 )4元6（3）电场的叠加原理N个分立的点电荷在处产生的场强为0E-X(-r)(1.1.3)台4元斤-体积V内的体电荷分布pr)所产生的场强为E(-r)(1.1.4)4元J-F式中为源点的坐标，为场点的坐标。2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和（9.)除以8。用公式表示为

第一章 电磁现象的普遍规律 §1.1 电荷与电场 1、库仑定律 （1）库仑定律 如图 1-1-1 所示，真空中静止电荷 ' Q 对另一个静止电荷 Q 的作用力 F  为 ( ) ' 3 ' ' 4 0 1 r r r r Q Q F      − − =   （1.1.1） 式中 0  是真空介电常数。 （2）电场强度 E  静止的点电荷 ' Q 在真空中所产生的电场强度 E  为 ( ) ' 3 ' ' 4 0 1 r r r r Q E      − − =   （1.1.2） （3）电场的叠加原理 N 个分立的点电荷在 r  处产生的场强为 ( ) ' 1 3 ' 0 ' 4 i N i i i r r r r Q E      − − = =   （1.1.3） 体积 V 内的体电荷分布 ( ) ' r   所产生的场强为 ( ) ( ) ' 3 ' ' ' 4 0 1 r r r r r dV E V       − − =     （1.1.4） 式中 ' r  为源点的坐标， r  为场点的坐标。 2、高斯定理和电场的散度 高斯定理：电场强度 E  穿出封闭曲面 S 的总电通量等于 S 内的电荷的代数 和 ( ) i Qi 除以 0  。用公式表示为

fE.ds-1z0(1.1.5)（分离电荷情形）60或f.E.ds-pdv(1.1.6)（电荷连续分布情形）60其中V为S所包住的体积，dS为S上的面元，其方向是外法线方向应用积分变换的高斯公式fE.dS=[V.Edv(1.1.7 )由（1.1.6）式可得静电场的散度为V.E=1P603.静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为fE.dl =0(1.1.8)应用积分变换的斯托克斯公式fE.di =[VxE.ds从（1.1.8）式得出静电场的旋度为VxE=0(1.1.9 )

  =  i i S E dS Q 0 1    （分离电荷情形） （1.1.5） 或    = S V E dS dV  0   1 （电荷连续分布情形） （1.1.6） 其中 V 为 S 所包住的体积， dS  为 S 上的面元，其方向是外法线方向。 应用积分变换的高斯公式    =  S V E dS EdV    （1.1.7） 由（1.1.6）式可得静电场的散度为   0 1   E =  3. 静电场的旋度 由库仑定律可推得静电场 E  的环量为  = 0 L E dl   （1.1.8） 应用积分变换的斯托克斯公式    =   L S E dl E dS     从（1.1.8）式得出静电场的旋度为  E = 0  （1.1.9）

81.2电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为V，边界面为S的有限区域内，有dfJ.ds =--pdv(1.2.1)diJ或v.j+%=0(1.2.2 )at这就是电荷守恒定律的数学表达式。2、毕奥一萨伐尔定律处的电流元Idi在处产生的磁感强度为dB= 4o ldi x(r-F)(1.2.3 )4元上-参见图1-1-2。由此得沿闭合IdiF-Fo曲线L流动的电流1所产生的磁感强度为B()= 4o4 ldli x(F-F)(1.2.4)4元F-r3图1-1-2如果电流是体分布，则电流元为J()dv，这时dB()=4)(-F),1(1.2.5)4元F-r()=%[)(-1)(1.2.6)4元F-F3、磁场的环量和旋度

§1.2 电流和磁场 1、电荷守恒定律 不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为 V ， 边界面为 S 的有限区域内，有    = − S V dV dt d J dS    （1.2.1） 或 = 0     + t J   （1.2.2） 这就是电荷守恒定律的数学表达式。 2、毕奥－萨伐尔定律 ' r  处的电流元 Idl  在 r  处产生的磁感强度为 ( ) 3 ' ' 0 4 r r Idl r r dB       −  − =   （1.2.3） 参见图 1-1-2。由此得沿闭合 曲线 L 流动的电流 I 所产生的磁感 强度为 ( ) ( )  −  − = L r r Idl r r B r 3 ' ' 0 4          (1.2.4) 如果电流是体分布，则电流元 为 ( ) ' ' J r dV   ，这时 ( ) ( ) ( ) ' 3 ' ' ' 0 4 dV r r J r r r dB r         −  − =   （1.2.5） ( ) ( ) ( ) ' 3 ' ' ' 0 4 dV r r J r r r B r V −  − =          （1.2.6） 3、磁场的环量和旋度

（1）安培环路定理磁感强度B沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的"o倍；即(1.2.7), B.dl -J.ds（2）磁场的旋度由安培环路定理和斯托克斯公式f B.di - [VxB.ds可得磁场的旋度为V×B=μoJ(1.2.8)这是安培环路定理的微分形式。4、磁场的散度V.B=0(1.2.9)磁场的散度为

（1）安培环路定理 磁感强度 B  沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的  0 倍；即    =  L S B dl J dS     0 (1.2.7) （2）磁场的旋度 由安培环路定理和斯托克斯公式    =   L S B dl B dS     可得磁场的旋度为 B J     =  0 （1.2.8） 这是安培环路定理的微分形式。 4、磁场的散度 磁场的散度为   B = 0  （1.2.9）

81.3麦克斯韦方程组1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路L中产生的感应电动势为d=-d(B.ds=-(1.3.1)dtdtJs依定义，感应电动势ε是电场强度E沿导体回路L的线积分，因此（1.3.1）式可写做fE, di =-%[B.ds(1.3.2 )dt其中E，是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场E感，并且满足（1.3.2）式。应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式VxE,=-OB(1.3.3 )at在一般情况下，既有静电场E。，又有感应电场E，，则总电场便为E=Es +E,(1.3.4)又因为V×E。=0，故得VxE=_OB(1.3.5)at这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。2、麦克斯韦对安培环路定理的推广稳恒电流的安培环路定理为V×B=μoJ，由此得出

§1.3 麦克斯韦方程组 1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广 按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路 L 中产生的感应电 动势为  = −   = − S B dS dt d dt d    （1.3.1） 依定义，感应电动势  是电场强度 E感  沿导体回路 L 的线积分，因此（1.3.1） 式可写做    = −  L S i B dS dt d E dl     （1.3.2） 其中 Ei  是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。 麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电 场 E感  ，并且满足（1.3.2）式。 应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式 t B Ei    = −   （1.3.3） 在一般情况下，既有静电场 ES  ，又有感应电场 Ei  ，则总电场便为 E ES Ei    = + （1.3.4） 又因为  ES = 0  ，故得 t B E    = −   （1.3.5） 这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。 2、麦克斯韦对安培环路定理的推广 稳恒电流的安培环路定理为 B J     =  0 ，由此得出

V.j-一v.(v×B)=0(1.3.6)o这与电荷守恒定律v.j=--%+0(1.3.7)at相矛盾。麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为V×B=μo(J+J,)(1.3.8)其中aDJD=(1.3.9 )at叫做位移电流密度。即aDV×B= μo(1.3.10 )at或dsB·dl(1.3.11)at3、麦克斯韦方程组我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不矛盾。VxE=-aBataEV×B=MoJ + Ho5 01(1.3.12)V.E-P60V.B=0

( ) 0 1 0   J =     B =    （1.3.6） 这与电荷守恒定律  0     = − t J   （1.3.7） 相矛盾。 麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为 ( ) D B J J     =  0 + （1.3.8） 其中 t D J D   =   （1.3.9） 叫做位移电流密度。即            = + t D B J    0 （1.3.10） 或 dS t D B dl J L S                  = +  0   （1.3.11） 3、麦克斯韦方程组 我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相 互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不 矛盾。              =   =     = +     = − 0 0 0 0 0 B E t E B J t B E             （1.3.12）

这组方程称为麦克斯韦方程组。4、洛伦兹力公式带电荷q的粒子以速度在电磁场中运动时，它所受的力为F=q(E+VxB)作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为J=p(E+xB)=pE+J×B

这组方程称为麦克斯韦方程组。 4、洛伦兹力公式 带电荷 q 的粒子以速度 v  在电磁场中运动时，它所受的力为 F q(E v B)     = +  作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为 f (E v B) E J B        =  +  =  + 

81.4介质的电磁性质1、介质的极化（1）极化强度P在外电场的作用下介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列，这叫做介质的极化。极化强度P是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即Zp.P=1(1.4.1)AV式中△V为包含有大量分子的物理小体积，P，为第i个分子的电偶极矩。如果每个分子的平均电偶极矩为p，则P=np(1.4.2)式中n为分子数密度。（2）极化电荷与极化强度的关系极化电荷体密度P,与极化强度P的关系为fp.ds -Ppdv(1.4.3)或Pp=-V.P(1.4.4)极化电荷面密度,与P的关系为Op=n.(P-P)(1.4.5)式中n为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。如果介质2为真空，则Op=n.p(1.4.6)

§1.4 介质的电磁性质 1、介质的极化 （1）极化强度 P  在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则 的排列，这叫做介质的极化。 极化强度 P  是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即 V p P i i      （1.4.1） 式中 V 为包含有大量分子的物理小体积， i p  为第 i 个分子的电偶极矩。 如果每个分子的平均电偶极矩为 p  ，则 P np   = （1.4.2） 式中 n 为分子数密度。 （2）极化电荷与极化强度的关系 极化电荷体密度  P 与极化强度 P  的关系为 P dS dV V P S   = −    （1.4.3） 或 P P   = − （1.4.4） 极化电荷面密度  P 与 P  的关系为 ( ) P n P1 P2     =  − （1.4.5） 式中 n  为交界面法线方向的单位矢量，从介质 1 指向介质 2。如果介质 2 为真空， 则 P n P    =  （1.4.6）

均匀介质内的极化电荷8Pp =-V.P=-V.(D-6,E)=(1.4.7)即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度P，的因此，若该点处无自由电荷分布，则pp=0。（3）有介质时的电场在一般情况下，介质中的电场E是自由电荷的电场E，，极化电荷的电场E，以及变化磁场产生的感应电场E,的和，即E=E,+Ep+E(1.4.8)在介质中，电场的旋度和散度分别为VxE=VxE,=-B(1.4.9)ar和V.E-111v.P(1.4.10)Py+Pp=Pf60606060（4）电位移D及其与电场强度E的关系电位移矢量D的定义为D=6E+P(1.4.11)在各向同性的线性介质中，P与E成线性关系P=XCE(1.4.12)x。叫做介质的电极化率。代入（1.4.11）式得D=(1+x.)E(1.4.13 )

均匀介质内的极化电荷 ( ) P P D E  f           = − = − − = − − 0 0 1    （1.4.7） 即均匀介 质内任 意一点 的极化 电荷密度 等于该 点的自 由电荷 密度  f 的       − −   0 1 倍。 因此，若该点处无自由电荷分布，则  P = 0。 （3）有介质时的电场 在一般情况下，介质中的电场 E  是自由电荷的电场 E f  ，极化电荷的电场 E P  以及变化磁场产生的感应电场 Ei  的和，即 E Ef EP Ei     = + + (1.4.8) 在介质中，电场的旋度和散度分别为 t B E Ei    =  = −    （1.4.9） 和 E f P f P     = + = −   0 0 0 0 1 1 1 1        （1.4.10） （4）电位移 D  及其与电场强度 E  的关系 电位移矢量 D  的定义为 D E P      0 + （1.4.11） 在各向同性的线性介质中， P  与 E  成线性关系 P e E   0 =   （1.4.12）  e 叫做介质的电极化率。代入（1.4.11）式得 D ( e )E   =  0 1+  （1.4.13）

定义相对介电常数和介电常数ε分别为(1.4.14 )6,=1+Xe=6,60这时D=E(1.4.15)2、介质的磁化（1）磁化强度M在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质的磁化。磁化强度M是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即EmM=7(1.4.16)AV式中△V为含有大量分子的物理小体积，m,为第i个分子的磁矩。如果每个分子的平均磁矩为m，则M=nm(1.4.17)式中n为分子数密度。（2）磁化电流与磁化强度的关系磁化电流体密度J与磁化强度M的关系为f, M.di -Juds(1.4.18)上式可写作-d1fM.dl -Im(1.4.19)式中I是积分环路L所套住的磁化电流的代数S和，如图1-1-3。图1-1-3

定义相对介电常数 r  和介电常数  分别为 r  e  1+ ， 0     r （1.4.14） 这时 D E   =  （1.4.15） 2、介质的磁化 （1）磁化强度 M  在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫 做介质的磁化。磁化强度 M  是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的 磁矩，即 V m M i i      （1.4.16） 式中 V 为含有大量分子的物理小体积， mi  为第 i 个分子的磁矩。 如果每个分子的平均磁矩为 m  ，则 M nm   = （1.4.17） 式中 n 为分子数密度。 （2）磁化电流与磁化强度的关系 磁化电流体密度 M J  与磁化强度 M  的关系为 M dl J dS L S M      =    （1.4.18） 上式可写作   = L M M dl I   （1.4.19） 式中 M I 是积分环路 L 所套住的磁化电流的代数 和，如图 1-1-3