《电动力学》课程授课教案（讲义）第三章 静磁场

第三章静磁场83.1矢势及其微分方程1、矢势（1）稳恒电流磁场的基本方程V.B=0(3.1.1)或f.B.dS =0(3.1.2)VxH-J(3.1.3)或fH.dl=1(3.1.4)式中J是自由电流密度，是被闭合环路L套住的自由电流的代数和。（2）稳恒磁场的矢势由V.B=0知，存在空间量势函数A，它满足B=VxA(3.1.5)对于一个确定的磁场B，由（3.1.5）式确定的矢势A不是唯一的，可以有一个附加的任意空间函数的梯度。通常用条件V.A=0(3.1.6)来对这个任意函数加以限制。（3）矢势A的物理意义f A.dl -[,V×A-dS -[B.dS =0(3.1.7)即矢势A沿任一闭合环路L的积分等于通过以L为边界的曲面S的磁通量。2、矢势A的微分方程和边值关系在均匀介质内，矢势A满足泊松方程

第三章 静磁场 §3.1 矢势及其微分方程 1、矢势 （1）稳恒电流磁场的基本方程   B = 0  （3.1.1） 或   = S B dS 0   （3.1.2） H J     = （3.1.3） 或   = L H dl I   (3.1.4) 式中 J  是自由电流密度， I 是被闭合环路 L 套住的自由电流的代数和。 （2）稳恒磁场的矢势 由   B = 0  知，存在空间矢量势函数 A  ，它满足 B A   =   （3.1.5） 对于一个确定的磁场 B  ，由（3.1.5）式确定的矢势 A  不是唯一的，可以有 一个附加的任意空间函数的梯度。通常用条件   A = 0  （3.1.6） 来对这个任意函数加以限制。 （3）矢势 A  的物理意义   =    =   =  L S S A dl A dS B dS       （3.1.7） 即矢势 A  沿任一闭合环路 L 的积分等于通过以 L 为边界的曲面 S 的磁通量。 2、矢势 A  的微分方程和边值关系 在均匀介质内，矢势 A  满足泊松方程

V?A=-(3.1.8)矢势的边值关系A=A在均匀介质内，该方程的特解是A=兰av(3.1.9)4元JVF-F式中的积分遍及电流所分布的空间V。3、矢势的近似电流分布在区域V（线度为1）内，电流密度为J(）这电流在远处（即r>>1）产生的磁场其矢势可近似为A=长mx(3.1.10)34元式中xj(rav(3.1.11)m=2.叫做这电流的磁矩。对于一个载流为I的小线圈L，其磁矩为L(rxdi(3.1.12)m=2J4、稳恒电流磁场的能量（1）自具能电流分布在区域V内，密度为J(r），所具有的能量为[J.AdvW=(3.1.13 )这能量分布在磁场中，因此[H.BdVW=Hd(3.1.14 )2J式中H是上述电流所产生的磁场，积分遍及H不为零的全部空间V（2）相互作用能

A J    = − 2 （3.1.8） 矢势的边值关系 A1 A2   = 在均匀介质内，该方程的特解是 ( )  − = V r r J r dV A ' ' ' 4        （3.1.9） 式中的积分遍及电流所分布的空间 V 。 3、矢势的近似 电流分布在区域 V （线度为 l ）内，电流密度为 ( ) ' J r   。 这电流在远处（即 r  l ）产生的磁场其矢势可近似为 3 4 r r A m    =    （3.1.10） 式中 ( ) ' ' ' 2 1 m r J r dV V     =   （3.1.11） 叫做这电流的磁矩。对于一个载流为 I 的小线圈 L ，其磁矩为  =  L m r dl ' ' 2 1    (3.1.12) 4、稳恒电流磁场的能量 （1）自具能 电流分布在区域 V 内，密度为 ( ) ' J r   ，所具有的能量为  =  V W J AdV   2 1 （3.1.13） 这能量分布在磁场中，因此   =  = V V W H BdV H dV 2 2 1 2 1    （3.1.14） 式中 H  是上述电流所产生的磁场，积分遍及 H  不为零的全部空间 V 。 （2）相互作用能

电流J()在外磁场A.中的能量为W,=[J.A,dv(3.1.15)载电流1的小线圈在外磁场B.中的能量为W,=m·B(3.1.16)式中m为小线圈的磁矩

电流 J (r)   在外磁场 Ae  中的能量为 W J A dV v i  e =    （3.1.15） 载电流 I 的小线圈在外磁场 Be  中的能量为 Wi m B   =  （3.1.16） 式中 m  为小线圈的磁矩

83.2磁标势1、磁标势如果在某一闭合区域内没有自由电荷（即J=0），这时稳恒磁场的基本方程为VxH=0(3.2.1)V·B=0(3.2.2 )由√×H=0知，在该区域内存在势函数㎡，它满足H=-Vpm(3.2.3 )这时，H在形式上与静电场的E相对应，而?㎡则与静电场的电势相对应。2、磁标势的拉氏方程和边值关系拉氏方程为Vp=0(3.2.4)在没有传导电流的两介质交界面上，由H=H2(3.2.5)Bin = B2n(3.2.6 )得出磁标势的边值关系为Pml=Pm2(3.2.7)Qml0Pm22onOn(3.2.8)式中π是交界面上由介质1指向介质2的单位法向矢量。3、“磁荷”Pm=-V.M磁荷密度：

§3.2 磁标势 1、磁标势 如果在某一闭合区域内没有自由电荷（即 J = 0  ），这时稳恒磁场的基本方程 为  H = 0  （3.2.1）   B = 0  （3.2.2） 由  H = 0  知，在该区域内存在势函数  m ，它满足 H = − m  （3.2.3） 这时， H  在形式上与静电场的 E  相对应，而  m 则与静电场的电势  相对应。 2、磁标势的拉氏方程和边值关系 拉氏方程为 0 2   = （3.2.4） 在没有传导电流的两介质交界面上，由 H1t = H2t （3.2.5） B1n = B2n （3.2.6） 得出磁标势的边值关系为  m1 =  m2 （3.2.7） n n m m   =   2 2 1 1     （3.2.8） 式中 n  是交界面上由介质 1 指向介质 2 的单位法向矢量。 3、“磁荷” 磁荷密度： m M  = −   0