《电动力学》课程授课教案（讲稿）第二章 静电场

电动力学讲稿·第二章静电场第二章静电场主要研究问题：在给定自由电荷及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。81静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势为什么静电场可以用标势描述？aBVxE=-9atVxH=J+aDMaxwell方程atV.D=pV.B=0[D=&E物质方程B=μH（欧姆定律J=E）aB 静电场有×E=-=0$E-di=0at如右图所示，在静电场存在的空间，考察Z任意两点P和P，C和C,为P到P,的两条路CI径，选择顺时针方向为回路积分方向，有Edi -{E-dl +[ E·(-di)= 0C所以Y[E.diE.dl由于C,和C,是任意的，XX=积分（电场力作功）与路径无关，只取决于始末位置，表为= (P)-(P)=-["E·di或dp=-E-dl（可化为全微分）又因为1

电动力学讲稿●第二章 静电场 1 第二章 静电场 主要研究问题：在给定自由电荷及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。 §1 静电场的标势及其微分方程 一、 静电场的标势 为什么静电场可以用标势描述？ Maxwell 方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = + ∂ ∂ ∇ × = − B 0 D t D H J t B E K K K K K K K ρ 物质方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = B H D E K K K K μ ε （欧姆定律 J E K K = σ ） 静电场有 = 0 ∂ ∂ ∇ × = − t B E K K ⇒ ∫ E ⋅ dl = 0 K K 如右图所示，在静电场存在的空间，考察 任意两点 P1 和 P2 ，C1和C2 为 P1到 P2 的两条路 径，选择顺时针方向为回路积分方向，有 ( ) 0 1 2 ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ∫ ∫C ∫C E dl E dl E dl K K K K K K 所以 ∫ ∫ ⋅ = ⋅ C1 C2 E dl E dl K K K K 由于C1和C2 是任意的， ⇒ 积分（电场力作功）与路径无关，只取决于始末位置，表为 ⇒ ( ) () ∫ − = − ⋅ 2 1 2 1 P P P P E dl K K ϕ ϕ 或 d E dl K K ϕ = − ⋅ （可化为全微分） 又因为

电动力学讲稿●第二章静电场ady+dx+pddp=axOzdydi=é,dx+é,dy+e.dz可得dp=Vp·di，所以E=-Vpβ称为电势。讨论：只有电势差才有物理意义，某点电势值与参照点的选择有关（两点的电势差与参照点的选择无关），常选无穷远处电势为0，则P点的电势为p(P)= ["E.dl二、静电势的直接计算Qp(P)=_对于点电荷：4元0rQp(P)=_对于多点电荷系统：（电场的叠加性原理）14元8010(P)= [P(3)d"对于连续分布的带电体：4元80r计算出电势后，由E=-Vβ可以很方便地得到电场强度。三、静电势满足的微分方程及边值关系一般而言，对于包含自由电荷和导体的体系，自由电荷导致导体上出现感应电荷。感应电荷激发电场使（总）电场改变，总电场又引起感应电荷重新分布达到一个平衡状态，对这类问题上，难以根据上述公式（直接）计算电势。求解思路：从某点电场出发，根据电场的变化（Maxwell方程给出电场强度散度和旋度），求（下一）近邻空间点的电势，重复上述过程，直到导体表面，此处物理量发生跃变，应用边界条件可以跨跃边界继续求解。对包含介质的体系亦是如此。上述过程在数学上表现为（在边界条件下）求解微分方程。?静电势满足的微分方程V.D=pD=cEE=-Vp2

电动力学讲稿●第二章 静电场 2 dz z dy y dx x d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕ ϕ dl e dx e dy e dz x y z K G G G = + + 可得 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，所以 E = −∇ϕ K ϕ 称为电势。 讨论：只有电势差才有物理意义，某点电势值与参照点的选择有关（两点的电势差与参照 点的选择无关），常选无穷远处电势为 0，则 P 点的电势为 ( ) ∫ ∞ = ⋅ P P E dl K K ϕ 二、 静电势的直接计算 对于点电荷： ( ) r Q P 4πε 0 ϕ = 对于多点电荷系统： ( ) = ∑ i i i r Q P 0 4πε ϕ （电场的叠加性原理） 对于连续分布的带电体： ( ) ( ) ∫ = r x dV P 4 0 ' ' πε ρ ϕ K 计算出电势后，由 E = −∇ϕ K 可以很方便地得到电场强度。 三、 静电势满足的微分方程及边值关系 一般而言，对于包含自由电荷和导体的体系，自由电荷导致导体上出现感应电荷。感应 电荷激发电场使（总）电场改变，总电场又引起感应电荷重新分布.达到一个平衡状态， 对这类问题上，难以根据上述公式（直接）计算电势。 求解思路：从某点电场出发，根据电场的变化（Maxwell 方程给出电场强度散度和旋度）， 求（下一）近邻空间点的电势，重复上述过程，直到导体表面，此处物理量发生跃变，应用 边界条件可以跨跃边界继续求解。对包含介质的体系亦是如此。 上述过程在数学上表现为（在边界条件下）求解微分方程。 z 静电势满足的微分方程 ∇ ⋅ D = ρ K D E K K = ε E = −∇ϕ K

电动力学讲稿●第二章静电场v0Poisson方程U电势是标量，求解电势通常比直接求解E在数学上更为简单。C电势满足边值关系nx(E, -E)=0(1)电场强度的边值关系：n.(D, -D)=0(2)设P和P,为分界面两侧相邻两点，注意到P-9,=dp=-E-di由于电场有限，P与P,的距离趋于0，kn(3)= 0=(2这一关系与（1）等价。解释：（见P.53)P在介质分界面处选择四个点，P与P,邻近，1P'与P'邻近，设从P到P'的距离为△（注意方向），△i足够小。由上述电势连续条件，PP=2P2根据dp=-E·di，有P'-P,=-E,- =P'-P2=-E,- =E.=E,-7由于的取向具有任意性，可知在界面两边，电场强度的切向分量相等。#完毕由（2)式n.6,E,-n.6E, =0（n由介质1指向介质2）-e,n.,+en.V,=odp（也可表为dp=Vdi），可知由于（P.341第16式）（V),=（方向微商）dln.Vp=00lTanapaq(4)U628OnOr3

电动力学讲稿●第二章 静电场 3 ⇒ ε ρ ∇ ϕ = − 2 Poisson 方程 电势是标量，求解电势通常比直接求解 E K 在数学上更为简单。 z 电势满足边值关系 电场强度的边值关系： ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ − = × − = (2) 0 (1) 2 1 2 1 n D D σ n E E K K K K K K 设 P1和 P2 为分界面两侧相邻两点，注意到 d E dl K K ϕ −ϕ = ϕ = − ⋅ 2 1 由于电场有限， P1 与 P2 的距离趋于0 ， ⇒ ϕ1 = ϕ 2 （3） 这一关系与（1）等价。 解释：（见 P. 53） 在介质分界面处选择四个点， P1 与 P2 邻近， ' P1 与 ' P2 邻近，设从 P1 到 ' P1 的距离为 l G Δ （注意 方向）， l G Δ 足够小。由上述电势连续条件， 1 1 2 2 ϕ '−ϕ = ϕ '−ϕ 根据 d E dl K K ϕ = − ⋅ ，有 E l E l G G G G ϕ1 '−ϕ1 = − 1 ⋅ Δ = ϕ 2 '−ϕ 2 = − 2 ⋅ Δ ⇒ E l E l G G G G 1 ⋅ Δ = 2 ⋅ Δ 由于 l G Δ 的取向具有任意性，可知在界面两边，电场强度的切向分量相等。 ＃完毕 由（2）式 n ⋅ε 2E2 − n ⋅ε 1E1 = σ K K K K （n K 由介质 1 指向介质 2） − ε 2 n ⋅∇ϕ 2 + ε 1n ⋅∇ϕ1 = σ K K 由于（P. 341 第 I.6 式） dl d l ϕ (∇ϕ) = （方向微商） （也可表为 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ），可知 n n ∂ ∂ ⋅∇ = ϕ ϕ K ⇒ σ ϕ ε ϕ ε = − ∂ ∂ − ∂ ∂ n n 1 1 2 2 （4）

电动力学讲稿●第二章静电场（3）和（4）式即是电势的边值关系，适用于介质分界面。对于导体，由电磁学知识（P.53），?内部不带电，电荷只能分布在导体表面；导体内部电场E=0；9表面上电场必定沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。O由此可知，在导体表面，电势的边值关系为@=constap-0on其中，@为导体外，表面附近的电势，n由导体内指向导体外。四、静电场能量线性介质中静电场的总能量（无磁场）(E·DdV =W=[o.Ddv2J2:[v.(pD)dV + [o(V.D)dv5a[oD-dS+Jppdy2.3W=-(ppdypod2.J-111E.D);讨论：1)不应视为电场的能量密度(pp*2112）只是对于静电场，能量才可写为W=ppdV，表明电场能量与电荷分布有关；3）电场能量不能认为只是存储于电荷分布的空间：4）对于随时间变化的电场（非恒定情形），磁场亦要激发电场，场的总的能量不-[E·DdV仍是正确的。能完全通过电荷分布来表示，但W=2J上式还可以表为[ dv [dvP()p(x)1W-8元起／rTdzEx.1. (P. 55).注意零势点的选择。Ex.2.(P. 56).注意极限。:R4

电动力学讲稿●第二章 静电场 4 （3）和（4）式即是电势ϕ 的边值关系，适用于介质分界面。 对于导体，由电磁学知识（P.53）， z 内部不带电，电荷只能分布在导体表面； z 导体内部电场 E = 0 K ； z 表面上电场必定沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。 由此可知，在导体表面，电势的边值关系为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ = σ ϕ ε ϕ n const. 其中，ϕ 为导体外，表面附近的电势， n G 由导体内指向导体外。 四、 静电场能量 线性介质中静电场的总能量（无磁场） ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = − ⋅ + = − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = ⋅ = − ∇ ⋅ D dS dV D dV D dV W E DdV DdV ϕ ρϕ ϕ ϕ ϕ 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 G G G G G G G ∫ ∫ = = ∞ V W ρϕ dV ρϕ dV 2 1 2 1 讨论： 1） ρϕ 2 1 不应视为电场的能量密度( E D G G ≠ ⋅ 2 1 2 1 ρϕ )； 2）只是对于静电场，能量才可写为 ∫ W = ρϕdV 2 1 ，表明电场能量与电荷分布 有关； 3）电场能量不能认为只是存储于电荷分布的空间； 4）对于随时间变化的电场（非恒定情形），磁场亦要激发电场，场的总的能量不 能完全通过电荷分布来表示，但 ∫ W = E ⋅ DdV K K 2 1 仍是正确的。 上式还可以表为 ∫ ∫ = V V r x x W dV dV ( ) ( ') ' 8 1 G G ρ ρ πε Ex.1. (P. 55). 注意零势点的选择。 Ex.2. (P. 56). 注意极限

电动力学讲稿●第二章静电场$2唯一性定理静电学的基本问题：求出满足边界条件的泊松方程的解。泊松方程是一个二阶微分方程，一般而言，没有边界条件（初条件）时，我们只是可能给出方程的通解，通解中包含一些待定参数，（静电场的）解不是唯一的。d'p1x3+Ax+B。比如，微分方程=x的通解可表为为β=dx?6de=4，则又如果给定边界条件pl。=1，则可定出B=1：如果还给定边界条件dxlo可定出A=4。这样，解就唯一确定了。（如果该问题还给出其他边界条件，这些边界条件是多余的）。问题：在什么样的边界条件下，静电场的解才能唯一确定（泊松方程的解是唯一确定的）？一、无导体存在时的唯一性定理考虑对象：在空间V中含有介质，V可以分为若干个均匀区域V，其中V,内充满电容率为6的均匀介质（8,是常数）。在V.中电势满足Poisson方程V-O在V和V，的分界面，电势满足边值关系P,=0Caedo=6Onn仅有这样的条件不足以完全确定区域V中的电势（电场不是唯一确定的）。问题：要完全确定区域V中的电势，还需要什么样的条件？唯一性定理：给定V内的自由电荷分布p(x)及在V的边界面S上给定1）Ps或2)ap器l，则区域√内的电场唯一确定。注：1.在数学上有失量场的唯一性定理：一个失量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定；2.注意唯一性定理的表述中是“电场唯一确定”而不是“电势唯一确定”，实际上，对于同一个电场，电势并不是唯一的，不同的电势之间可以相差一个常数。ap证明：（反证法）假设：在给定，和下存在两个不同的解β和Onls5

电动力学讲稿●第二章 静电场 5 §2 唯一性定理 静电学的基本问题：求出满足边界条件的泊松方程的解。 泊松方程是一个二阶微分方程，一般而言，没有边界条件（初条件）时，我们只是可能 给出方程的通解，通解中包含一些待定参数，（静电场的）解不是唯一的。 比如，微分方程 x dx d = 2 2 ϕ 的通解可表为为 = x + Ax + B 3 6 1 ϕ 。 如果给定边界条件 1 0 ϕ = ，则可定出 B = 1；如果还给定边界条件 4 0 = dx dϕ ，则又 可定出 A = 4 。这样，解就唯一确定了。（如果该问题还给出其他边界条件，这些边界条件 是多余的）。 问题：在什么样的边界条件下，静电场的解才能唯一确定（泊松方程的解是唯一确定的）？ 一、 无导体存在时的唯一性定理 考虑对象：在空间V 中含有介质，V 可以分为若干个均匀区域Vi ，其中Vi 内充满电容率为 i ε 的均匀介质（ i ε 是常数）。 在Vi 中电势满足 Poisson 方程 i ε ρ ∇ ϕ = − 2 在Vi 和Vj 的分界面，电势满足边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 仅有这样的条件不足以完全确定区域V 中的电势（电场不是唯一确定的）。问题：要 完全确定区域V 中的电势，还需要什么样的条件？ 唯一性定理：给定V 内的自由电荷分布 ρ(x)及在V 的边界面 S 上给定 1）ϕ S 或 2） S ∂n ∂ϕ ，则区域V 内的电场唯一确定。 注： 1. 在数学上有失量场的唯一性定理：一个失量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定； 2. 注意唯一性定理的表述中是“电场唯一确定”而不是“电势唯一确定”，实际上，对于 同一个电场，电势并不是唯一的，不同的电势之间可以相差一个常数。 证明：(反证法)假设：在给定ϕ s 和 s ∂n ∂ϕ 下存在两个不同的解ϕ'和ϕ

电动力学讲稿●第二章静电场令=p-p"，在每个均勺分区V内，p"和p"满足Poisson方程所以在每个均匀分区V，β满足方程V"=0(1)在两均匀介质分区的分界面上，β和"分别满足边值关系[0,=p',β"=p"(ap)(0p')ap=62annanan故对于，亦有边值关系0, =(β)(2)对第1个均匀介质分区，运用高斯定理，有e,.ds= [.(,)d= [s,() dv+ [e,dv = [e,()dvVVSVV对所有分区V求和，有Efe,pp ds -Z[e,(vo) dv(3)iyS对于上式左端的积分，在分界面两边，有ds, =-ds,由此，在内部分界面上的积分为0说明：所满足的边值关系也可表为：1）,=，2)s,(Vpn),=,(V.n)，（根据dp=Vo·di，考虑沿n方向的微分，有do=Vo·dn，所以=on，所以在on内表面上的积分为0。#Efepo.ds =fe,op.ds(4)s在整个V区域的表面S上，1）若给定外表面S上的电势，则pls =ps-"s = 06

电动力学讲稿●第二章 静电场 6 令ϕ = ϕ'−ϕ"，在每个均匀分区Vi 内，ϕ'和ϕ"满足 Poisson 方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ = − ∇ = − i i ε ρ ϕ ε ρ ϕ " ' 2 2 所以在每个均匀分区Vi ，ϕ 满足方程 0 2 ∇ ϕ = （1） 在两均匀介质分区的分界面上，ϕ'和ϕ"分别满足边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ' ' ' ' ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 和 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n " " " " ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 故对于ϕ ，亦有边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ （2） 对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有 ( ) ( ) () ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ + ∇ = ∇ i i i V V i i i i V i V i S i ds dV dV dV dV 2 2 2 ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ϕε ϕ ε ϕ K 对所有分区Vi 求和，有 ∑ ( ) ∑∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ i V i i S i i i ds dV 2 ε ϕ ϕ ε ϕ K （3） 对于上式左端的积分，在分界面两边，有 i j ds ds K K = − 由此，在内部分界面上的积分为 0 说明：ϕ 所满足的边值关系也可表为：1）ϕ i = ϕ j 2) ( )( ) i i j j n n K K ε ∇ϕ ⋅ = ε ∇ϕ ⋅ （根据 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，考虑沿 n K 方向的微分，有 d dn K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，所以 n n K = ∇ ⋅ ∂ ∂ ϕ ϕ ，所以在 内表面上的积分为 0。 # ∑∫ ∫ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ S i i S i ds dS i G K ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ （4） 在整个V 区域的表面 S 上， 1）若给定外表面 S 上的电势，则 = ' − " = 0 ϕ S ϕ S ϕ S

电动力学讲稿●第二章静电场2）若给定外表面处沿法线的方向微商，则apl0plap"=0onsansonls对于上述两种情形中的任意一种，由（4）式，（3）式左端积分为0，所以Z[s,(Vo) dV=0Ti注意到&,>0，上式要成立，必有V=0，即p'-p"= const.电势的附加常量对电场没有影响，所以电场是唯一确定的。二、有导体存在时的唯一性定理两类边界条件：第一类，给定导体表面上的或导体上的电势9：On第二类，给定每个导体上的总电荷9，。对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。ap卫给定；每对于第二类边界条件：在导体外，P分布给定：大区域表面S上的β或On个导体上的总电荷Q,给定。证明：先对导体进行分析：对于第i个导体，选择（紧紧）包裹该导体的封闭曲面S.为高斯面（画图），运用高斯定理，有fE.ds_（c为导体i外的电容率）8s,所以fvp.ds-2i8foe ds=2(5)SS an6V注意：n的方向规定为由导体内部指向外部：在导体表面电势是常数，各点电势相等，但其方向导数各点一般是不同的（举例：非球对称的导体）。以下开始证明（反证法）：设有两个不同的电势，@"，在导体外，他们均满足7

电动力学讲稿●第二章 静电场 7 2）若给定外表面处沿法线的方向微商，则 0 ' " = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ n S n S n S ϕ ϕ ϕ 对于上述两种情形中的任意一种，由（4）式，（3）式左端积分为 0，所以 ( ) 0 2 ∑ ∇ = ∫ i V i i ε ϕ dV 注意到ε i > 0 ，上式要成立，必有∇ϕ = 0 ，即 ϕ'−ϕ"= const. 电势的附加常量对电场没有影响，所以电场是唯一确定的。 二、 有导体存在时的唯一性定理 两类边界条件：第一类，给定导体表面上的 n i ∂ ∂ϕ 或导体上的电势ϕ i ； 第二类，给定每个导体上的总电荷Qi 。 对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。 对于第二类边界条件：在导体外， ρ 分布给定；大区域表面 S 上的ϕ 或 ∂n ∂ϕ 给定；每 个导体上的总电荷Qi 给定。 证明：先对导体进行分析： 对于第i 个导体，选择（紧紧）包裹该导体的封闭曲面 Si 为高斯面（画图），运用高斯 定理，有 ε i S Q E dS i ⋅ = ∫ G G （ε 为导体i 外的电容率） 所以 ε ϕ i S Q dS i − ∇ ⋅ = ∫ G ε ϕ i S Q dS n i = ∂ ∂ − ∫ （5） 注意： n G 的方向规定为由导体内部指向外部；在导体表面， 电势是常数，各点电势相等，但其方向导数各点一般是不同 的（举例：非球对称的导体）。 以下开始证明（反证法）： 设有两个不同的电势ϕ'，ϕ"，在导体外，他们均满足

电动力学讲稿●第二章静电场方程Φ=p'-p"则Φ=0(6)又，由于给定每个导体所带总电荷，@和"均满足（5）式，fds=2son6f00ds-son8在上式中，S,的法线方向由导体内指向导体外。所以rodS=0(7)son对于扣除导体的空间体积V积分，运用（数学上的）高斯定理，并利用（6）式，有(o)-ds = [.()dv = [(v) d + [o?d = [(vo) dv(8)注意到导体表面电势是常数，所以d。=const.分析（8）式左端积分，积分曲面为V"的表面，其中包含导体表面。对于第i个导体（其表面设为S，），有f(o) s = -fod-.ds =Φl..ds=0onJons,SS.上面利用了（7）式。由（8）式[(vΦ)"dv = 0由此V@=0?和"最多只能相差一个常数，电场唯一确定。Ex. (P.62)nx(E, -E,)=0由边值关系=E2,=EuD2, =Dinn (D, - D,)= G猜出（2.18）式，注意它满足导体为等势体的条件（E沿方向，与表面垂直）8

电动力学讲稿●第二章 静电场 8 方程 ε ρ ∇ ϕ = − 2 ，令 Φ = ϕ'−ϕ" 则 0 2 ∇ Φ = （6） 又，由于给定每个导体所带总电荷，ϕ'和ϕ"均满足（5）式， ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∫ ∫ ε ϕ ε ϕ i S i S Q dS n Q dS n i i " ' 在上式中， Si 的法线方向由导体内指向导体外。所以 = 0 ∂ ∂Φ ∫ i S dS n （7） 对于扣除导体的空间体积V ' 积分，运用（数学上的）高斯定理，并利用（6）式，有 ∫ Φ∇Φ ⋅ = ∫∇ ⋅ Φ∇Φ = ∫ ∇Φ + ∫Φ∇ Φ = ∫ ∇Φ ' 2 ' 2 ' 2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V dS dV dV dV dV G （8） 注意到导体表面电势是常数，所以 const. Si Φ = 分析（8）式左端积分，积分曲面为V ' 的表面，其中包含导体表面。对于第i 个导体（其表 面设为 Si ），有 ∫ ∫ ∫ ⋅ = ∂ ∂Φ ⋅ = Φ ∂ ∂Φ Φ∇Φ ⋅ = − Φ i i i i S S S S dS n dS n ( ) dS 0 G G G 上面利用了（7）式。由（8）式 ( ) 0 ' 2 ∇Φ = ∫ V dV 由此 ∇Φ = 0 ϕ'和ϕ"最多只能相差一个常数，电场唯一确定。 Ex.（P. 62） 由边值关系 ( ) ⎪ ( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ − = × − = 2 1 σ 2 1 0 n D D n E E K K K K K K ⇒ E2t = E1t D2n = D1n 猜出（2.18）式，注意它满足导体为等势体的条件（ E K 沿 r K 方向，与表面垂直）

电动力学讲稿●第二章静电场要求满足总电荷的条件（2.19）式= EI,E2,DI,D,9

电动力学讲稿●第二章 静电场 9 要求满足总电荷的条件（2.19）式 ⇒ 1 2 1 2 E , E , D , D K K K K

电动力学讲稿●第二章静电场$3.拉普拉斯方程分离变量法对于静电场问题，电荷带往往分布在有限空间，在很多情况下，需考察的空间内没有电荷分布，分布在有限空间的电荷激发了整个空间的电场。如果在考察的空间内没有电荷分布，则电势满足Laplase方程Vβ=0(1)在数学上，Laplace方程可以用分离变量法求解。先将方程写为球坐标下（θ为极角，Φ为方位角）的形式：101ar00)1a(200)V0=singr? ar(ar)rsingol0ersin000?（根据数理方法）该方程可以用分离变量法求解，其解为：E(amR"+bm)p(R,0,g)=Ppm(cos0)cosm§R+Jnm(n,m=0,1,2,...)2(cmR"+)P"(cos0)sinmgR(2)P"(cosの)为缔合勒让德（Legendre）函数。该方程有（一系列）待定系数n和m的取值范围及各个n和m取值对应的am、bmm、Cmm和dm，不管他们如何取值，（2）式的解均满足方程（1)，即Laplace方程的有一系列的解。但是并非所有的解都能满足电势的边界条件，我们的任务就是找出（2）中满足边界条件的解。上述求解电势的问题就归结为，根据边界条件（包含界面上处的边值关系）定出（2）式中的待定系数amm，bm，Cmm和dmm。如果系统具有对称性，（2）式的形式可以进一步化简。轴对称情形：若系统具有轴对称性（即系统具有绕对称轴的不可区分性），取对称轴为球坐标极轴Z，电势@应该绕Z轴旋转不变，在（2）式中应该有m=0，所以(R 0-2(aR+)(o)(3)P,(cosの)为勒让德函数。勒让德函数表达式（P.349）10

电动力学讲稿●第二章 静电场 10 §3. 拉普拉斯方程 分离变量法 对于静电场问题，电荷带往往分布在有限空间，在很多情况下，需考察的空间内没有电 荷分布，分布在有限空间的电荷激发了整个空间的电场。如果在考察的空间内没有电荷分布， 则电势满足 Laplase 方程 0 2 ∇ ϕ = （1） 在数学上，Laplace 方程可以用分离变量法求解。先将方程写为球坐标下（θ 为极角，φ 为方位角）的形式： 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 φ ϕ θ θ ϕ θ θ θ ϕ ϕ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = r r r r r r （根据数理方法）该方程可以用分离变量法求解，其解为： ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + n m m n n n nm nm n m m n n n nm nm P m R d C R P m R b R a R , 1 , 1 cos sin , , cos cos θ φ ϕ θ φ θ φ (n , m ＝0, 1, 2, .) （2） ( ) cosθ m Pn 为缔合勒让德（Legendre）函数。该方程有（一系列）待定系数n 和 m 的取值范 围及各个 n 和 m 取值对应的 anm 、bnm 、 nm c 和 dnm ，不管他们如何取值，（2）式的解均满 足方程（1），即 Laplace 方程的有一系列的解。但是并非所有的解都能满足电势的边界条件， 我们的任务就是找出（2）中满足边界条件的解。上述求解电势的问题就归结为，根据边界 条件（包含界面上处的边值关系）定出（2）式中的待定系数anm ，bnm ， nm c 和 dnm 。 如果系统具有对称性，（2）式的形式可以进一步化简。 轴对称情形： 若系统具有轴对称性（即系统具有绕对称轴的不可区分性），取对称轴为球坐标极轴 Z ， 电势φ 应该绕 Z 轴旋转不变，在（2）式中应该有 m = 0 ，所以 ( ) ∑ ⎟ ( ) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n n n n P R b ϕ R,θ a R cosθ 1 （3） Pn ( ) cosθ 为勒让德函数。 勒让德函数表达式（P. 349）