《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）4-5 电磁波在波导中的传播

4. 5电磁波在波导中的传播1-1

1-1 4.5 电磁波在波导中的传播

前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律。在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，其电场和磁场都作横向振荡，通常把这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波，本节主要讨论电磁波在有界空间一波导中的传播在这里将要解决两个问题：第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在TEM波？第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能在波导中传播？1-2

1-2 前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律。在无 界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波， 其电场和磁场都作横向振荡，通常把这种模式的电磁 波称为横电磁波，简称TEM波。 本节主要讨论电磁波在有界空间—波导中的传播， 在这里将要解决两个问题： 第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在TEM波？ 第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能在波导中 传播？

1、矩形波导中的电磁波所谓波导（或者波导管waveguide）是利用良导体制成的中空管状传输线，是一种传播电磁能的工（主要传输波长在厘米数量级的电磁波）。常见的有截面为矩形和圆形的，分别称为矩形波导和圆柱形波导。电磁波在波导中只能沿着管的轴线方向传播，这就使得波导中的电磁波与无界空间的电磁波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传播的电磁波不是TEM波为了讨论问题的方便，在此只讨论矩形波导1-3

1-3 所谓波导(或者波导管wave guide)是利用良导体制成的 中空管状传输线，是一种传播电磁能的工（主要传输波长在 厘米数量级的电磁波）。常见的有截面为矩形和圆形的，分 别称为矩形波导和圆柱形波导。电磁波在波导中只能沿着管 的轴线方向传播，这就使得波导中的电磁波与无界空间的电 磁波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传播的电 磁波不是TEM波 为了讨论问题的方便，在此只讨论矩形波导。 1、矩形波导中的电磁波

设矩形波导截面边长为a、b，z轴沿波导管的轴线方向bHk由于波导中没有自由电荷和传导电流，即 p=0i=0。而且在一定频率下，介电常数和磁导率μ既不随时间变化，也与坐标无关。因此波导内电磁波应满足亥姆霍兹方程1-4

1-4 a b x y z k  E  H   = 0 j = 0  由于波导中没有自由电荷和传导电流，即 。而且在一定频率下，介电常数ε和磁导率μ既不 随时间变化，也与坐标无关。因此波导内电磁波应满 足亥姆霍兹方程. 设矩形波导截面边长为a、b，z 轴沿波导管的轴线方向

V?E+k?E=0V?B+k?B=0根据两种不同介质界面上的边值关系：nx(E, -E))= 0nx(H,-H)=α因为波导的内表面是我们所研究的场的边界，在这些边界上，电磁波满足界面条件。设想这些界面是理想导体，电磁波穿透深度为01-5

1-5      + =  + = 0 0 2 2 2 2 B k B E k E          − =  − =         ( ) ˆ ( ) 0 ˆ 2 1 2 1 n H H n E E 因为波导的内表面是我们所研究的场的边界，在这些边 界上，电磁波满足界面条件。设想这些界面是理想导体， 电磁波穿透深度为0. 根据两种不同介质界面上的边值关系：

hxE=0hxH=α这两个条件满足后，另外两条件h.D=0h.B=0自然满足。按照切向电场分量连续的关系：（E2t=E，良导体E=0，从而使得 E2t=0）。1-6

1-6      =  =       n H n E ˆ 0 ˆ      =  = 0 ˆ ˆ n B n D      自然满足。按照切向电场分量连续的关系: ( ，良导体 ，从而使得 ）。 这两个条件满足后，另外两条件 E2t = E1t 0 E1t = 0 E2t =

hxE=0aEn=0(V·E=0)naE即当 x=0， α时,=0E,=E.axaE当 y=O，b时，E,=E,==0ay至此，得到波导中电磁波应该满足的微分方程和边界条件：1-7

1-7 即      =  =    = 0 ( E 0) 0 ˆ    n E n E n        =   = = = =   = = = 0 , , 0 0 , , 0 y E y b E E x E x a E E y x z x y z 当 时 当 时 至此，得到波导中电磁波应该满足的微分方程和边界 条件：

?E+k?E=0aE=0E,=E.x=0, a,axaE=0y=O, b,E,=E.二dy下面具体计算波导中的电磁场分布情况：因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿z轴方向传播，因而电场强度为E(x, t) = Eo (x, y)ei(k.=-ot)将此式代入亥姆霍兹方程，得到：1-8

1-8        =   = = = =   = = = 0 , , 0 0 , , 0 y E y b E E x E x a E E y x z x y z ( ) 0 ( , ) ( , ) i k z t z E x t E x y e − =    0 2 2  E + k E =   将此式代入亥姆霍兹方程，得到： 下面具体计算波导中的电磁场分布情况： 因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿z轴方向 传播，因而电场强度为

a?Ea?E+(k2-k)E.=0Ox?1ay设u（x，)为电磁场的任一直角分量，它满足上式au(k2-k2)u= 0ax用分离变量法解这个微分方程：令u(x,y)= X(x)Y(y)代入上述式子即有X"(x)Y(y) + X(x)Y"(y) =(k? - k2)X(x)Y(y)1-9

1-9 ( ) 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 + − =   +   k k E y E x E z    ( ) 0 2 2 2 2 2 2 + − =   +   k k u y u x u z 令 u(x, y) = X(x)Y(y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 X x Y y X x Y y k k X x Y y  +  = z − 设u ( x , y )为电磁场的任一直角分量，它满足上 式 代入上述式子即有 用分离变量法解这个微分方程：

两边同除以X(x)Y(y)得X"Y"-=k?-k2yX要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，即X"KXY"2-kYk? +kz +k? =k2而且要求：1-10

1-10 2 2 k k Y Y X X = z −  +  2 2 y x k Y Y k X X = −  = −  2 2 2 2 k k k k 而且要求： x + y + z = 两边同除以 X(x) Y(y) 得 要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，即