《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）6-2 狭义相对论基本原理——洛仑兹变换

6. 2狭义相对论基本原理洛仑兹变换1-1

1-1 6.2 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换

基本原理（两个公理）核心1相对性原理（relativityprinciple）问题一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系2光速不变原理(principle of constancy of lightvelocity)真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C且与光源运动速度无关。c=299792458m/s(1）它否定了伽利略变换，即否定了经典时空观。(2）光的速度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中可以不同。（3）光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度要发生关系1-2

1-2 真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C， 且与光源运动速度无关。 一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式； 一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系。 1 相对性原理（relativity principle） c = 299792458m/ s 2 光速不变原理 (principle of constancy of light velocity) 一 基本原理（两个公理） 核心 问题 ⑴ 它否定了伽利略变换，即否定了经典时空观。 ⑵ 光的速 度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中可以不同。⑶ 光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度要发生关 系

光速不变将导致同时的相对性按经典理论，在一个参考系中同时发生的两件事在另一系中仍为同时发生。但按相对论理论，同时具有相对性，即在另一系中可能不同时发生。系观测EZYA与B同时坚到光信ABCC()()（系观测A1=2C先收到光号E信CC1-3

1-3 光速不变将导致同时的相对性 按经典理论，在一个参考系中同时发生的两件事， 在另一系中仍为同时发生。但按相对论理论，同时 具有相对性，即在另一系中可能不同时发生。 Σ’ 系观测 A与B同时 收到光信 号 Σ系观测A 先收到光 信号   l = 2C A B v  C C  A B  C C

1、事件间隔不变性在无限小空间，无限小时间间隔内发生的物质运动过程，称为事件。或说在某一时刻，某一空间上发生的某一事件称为事件，一般用P来表示。在某一个参考系中可以表示为P（x,y,z,t)（直角坐标系）。2、经典理论的空间间隔（距离）与时间间隔V(x2 -x) +(y2 -y) +(22 -z) =(x2 -x) +(y2 -) +(22-2)* t2 -ti =t’ -t)3、相对论理论中定义时空间隔考察光在真空中传播过程的发射和接收两件事P，和P光信号Z: (x2 -x)+(y2 -y) +(z2 -z) =c2(tz -t)2联系的令 s2 =c2(tz -t) -[xz -x) +(y2 -) +(22 -z)]=0两事件S2为不E': (x2 -x) +(y2-y) +(22 -z) =c2(t2 -t)2变量令s2 =c(-)--x) +(z-y) +(2z-z)=01-4

1-4 二 间隔不变性 1、事件 在无限小空间，无限小时间间隔内发生的物质运动过程，称 为事件。或说在某一时刻，某一空间上发生的某一事件称为事 件，一般用P来表示。在某一个参考系中可以表示为P(x,y,z,t) （直角坐标系）。 2、经典理论的空间间隔（距离）与时间间隔 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = (x  − x ) + (y  − y ) + (z  − z ) 2 1 2 1 t −t = t −t 3、相对论理论中定义时空间隔 考察光在真空中传播过程的发射和接收两件事P1和P2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1  : x − x + y − y + z − z = c t − t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 : x  − x  + y  − y  + z  − z  = c t −t ( ) ( ) ( ) ( )  0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 令 s = c t − t − x − x + y − y + z − z = ( ) ( ) ( ' ' ) ( ' ' )  0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 令 s  = c t − t − x  − x  + y −y + z −z = 光信号 联系的 两事件 S 2为不 变量

相对论时空理论的定义时空间隔（间隔）一个重要基本概念它将时间与空间统s=c"(t, -t) -[(x, -x) +(y, - y) +(22 --7一起来，有深刻的物理含义。s2=0两事件可用光信号联系520P两事件用小于光的信号联系（因果关系的必要条件）4.间隔不变性（1）时空基本属性的两条基本假设：①空间均匀性选择时空任意一点作为坐标系的原点，任一时间为起点都不应改变物理规律，即空间是平权的，没有特殊点存在。②空间各向同性选择不同取向的坐标轴都不会影响物理规律，即空间不存在一个特殊的方向，各方向都是平权的1-5

1-5 ( ) [( ) ( ) ( ) ] 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 s = c t −t − x − x + y − y + z − z 定义时空间隔（间隔）： s 2  0 两事件用小于光的信号联系（因果关系的必要条件） 0 2 s = 两事件可用光信号联系 0 2 s  两事件不能用光信号联系，可认为无因果关系 相对论时空理论的 一个重要基本概念， 它将时间与空间统 一起来，有深刻的 物理含义。 4、间隔不变性 ① 空间均匀性 选择时空任意一点作为坐标系的原点，任一 时间为起点都不应改变物理规律，即空间是平权的，没有特 殊点存在。 ② 空间各向同性 选择不同取向的坐标轴都不会影响物理规 律，即空间不存在一个特殊的方向，各方向都是平权的。 （1）时空基本属性的两条基本假设：

（2）两事件在不同参考系中的间隔为不变量设二系两件事件间隔为S2，系中为S2，假定满足S2-AS2由于时空各向同性，A只依赖于参照系相对运动速度的大小而不依赖于方向，即：A=A（v）。由于时间空间是均匀的每个点都是平权的，则反变换应为：S2=A(-v)S?。因为相对运动方向不会影响物理规律，所以A（v）=A（-V）。因此S2=A(v)S2=A(v)A(-v)S2，可知A(v)与速度大小v也无关考虑到恒等变换取A=1。由此得到S2=S2，即间隔为一不变意义：两事件的间隔与参照系的选择无关，是一个不变量。它是光速不变原理的数学表示形式。22例：在Z系静止光源S发光，经M反射后到S接收，设Z相对Z沿轴正向运动，计算时间间隔与间隔。1-6

1-6 设Σ系两件事件间隔为S 2 ，Σ'系中为S' 2，假定满足S 2=A S' 2 （2）两事件在不同参考系中的间隔为不变量 由于时空各向同性，A只依赖于参照系相对运动速度的大小 而不依赖于方向，即：A=A(v)。由于时间空间是均匀的每 个点都是平权的，则反变换应为：S‘ 2=A(-v)S2 。 因为相对 运动方 向不会 影响 物理规 律， 所以A(v)=A(-v)。因此 S 2=A(v)S’ 2=A(v)A(-v)S2 ，可知A(v)与速度大小v也无关。 考虑到恒等变换取A=1。由此得到S 2=S' 2 ，即间隔为一不变 量。 意义：两事件的间隔与参照系的选择无关，是一个 不变量。它是光速不变原理的数学表示形式。 例：在系静止光源S发光，经 M反射后到S接收，设相对 沿x轴正向运动，计算时间间隔 与间隔。  0 l S  S vt 0 l

三（特殊）洛伦兹变换（Lorentztransformation）特殊变换关系导出的条件ZIYYN'①事件P在不同惯性系之间的变换P(xy,z)m②设两系重合时原点上各自时钟均指零T③沿的正方向以速度V运动!④变化必须是线性的0'0X X'③满足两个基本假设ZZ③质点速率远小于真空中的光速，确定常数αi（i、j-1—4)新时空变换能退化到伽利略变换(1)在Y、Z方向没有相对x'=αux+α12y+α13z+α14t运动所以y'=y，z=zy'=α21x+α22y+α23z+α24lα21=α23=α24 =α31=α32z'=31x+Q32y+Q33z+34t= α34 = 0,α22 = α33 = 1t'=α4x+α42y+α43z+α44t1-1

1-7 三 （特殊）洛伦兹变换(Lorentz transformation) 特殊变换关系导出的条件 ⑤满足两个基本假设 ⑥质点速率远小于真空中的光速， 新时空变换能退化到伽利略变换 ④变化必须是线性的 ①事件P在不同惯性系之间的变换。 ②设两系重合时原点上各自时钟均指零 ③沿的正方向以速度V运动 t x y z t z x y z t y x y z t x x y z t 4 1 4 2 4 3 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 ' ' '                 = + + + = + + + = + + +  = + + + 确定常数 (i、j=1—4)  ij (1)在Y、Z 方向没有相对 运动所以 y'= y，z'=z 0, 1 34 22 33 21 23 24 31 32 = = = = = = = =         O Z X Y O' Z' Y' v P (x,y,z) r  r     m X

（2）考虑Z系中Y轴上任一点m（0，y'，0，t）x'- Qi1x + α14在t时，Z系m(x=vt,y,0,t),有0=uvt+因低意y'=y> α12 = 0 > α14 =-Vα111z'= z同理： α13 = α42 =α43 =0t'= α4x+α44t（3）考虑间隔不变性=1-cα142αc2t2 -(x2 +y2 +z2) =α14 -cα443一c?t12 -(x12 + y12 +z12cα41α44 -α α14 = 0y=y z=zc2t? - x? =c?(α41x+α44t) -(αux +αi4t):α241 =(μ2 /c)/(1-μ2 /c2=1/(1-μ2/c2)1-8

1-8 （2）考虑系中Y轴上任一点m（0，y  ，0，t '） （3）考虑间隔不变性 ' ( ' ' ' ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c t x y z c t x y z − + + − + + = 1 2 14 2 2 11 − c  = ② 2 44 2 2 14  − c  = −c ③ 41 44 11 14 0 2 c   −  = ④ 同理： 在t 时，系m(x = v t , y, 0, t ),有 vt 因 y y 任意 t 0 =11 +12 +14 0 12 = 14 = −11 0 13 = 42 = 43 = ① t x t z z y y x x t 41 44 11 14 ' ' ' '     = + = = = + 1/(1 / ) ( / )/(1 / ) 2 4 2 2 4 1 2 2 2 2 4 4 2 1 1  = = − v c  = v c − v c ( ) ( ) 2 1 1 1 4 2 4 1 4 4 2 2 2 2 c t − x = c  x + t −  x + t y' = y, z' = z

（4）考虑v一→0与伽利略变化一致αi1 →1, a4 →-VC =c -1/ /1-2 /2, αi4 =-v/ /1-2+c?/c2t -vx/x-vtt'=x=y'= z'=z/1-v? / c?/1-v? / c2洛伦兹正变换t'+vx/c?x'+vt'y=y'z=zTx =V1-v? / c2/1-v? / c?洛伦兹逆变换四关于洛伦兹变换的分析与讨论（1）它为两个不同惯性系中的时空坐标的变换关系，是相对论时空观的具体数学表达式反映空间、时间测量相互影响相互制约。相对论时空观1-9

1-9 （4）考虑v→ 0 与伽利略变化一致 → → −v 11 14  1,  2 2 14 2 2 11 44  = =1/ 1−v / c ,  = −v / 1−v / c 2 2 1 v / c x v t x − −  = 2 2 2 1 / ' v c t v x c t − − = y' = y z' = z 洛伦兹正变换 2 2 1 / ' t' v c x v x − + = 2 2 2 1 / ' x' v c t v c t − + = y = y' z = z' 洛伦兹逆变换 四 关于洛伦兹变换的分析与讨论 反映空间、时间测量相互影响，相互制约。- 相对论时空观 （1）它为两个不同惯性系中的时空坐标的变换关系，是相对论 时空观的具体数学表达式

（2）Z沿2正向以速度V运动，两系原点重合时两系时钟均指零(3)当 VC结论：任何物体的运动都不会超过光速（相对于某一参考系）注意：不排除超光速现象（B）分离速度（A）视速度V0.6c0.8c1Xau=0.8c-(-0.6c)=1.4cu>c1-10

1-10 （4）光速是各种物体运动的一个极限速度 v  c 1−v 2 / c 2  虚数（洛伦兹变换失去意义） 结论：任何物体的运动都不会超过光速（相对于某一参考系） （3）当 v  c 洛伦兹变换简化为伽利略变换式 2 2 1 / ' v c x vt x − − = x' = x −vt t' = t 结论：在低速情况下，相对论时空观可由绝对时空观替代 （2）沿正向以速度V运动，两系原点重合时两系时钟均指零 注意：不排除超光速现象 0.6c 0.8c x y u = 0.8c −(−0.6c) =1.4c （A）视速度 （B）分离速度  u  c l