《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）5-2 推迟势

推迟势5. 2 1-1

1-1 5.2 推迟势

本节讨论空间存在电荷和电流分布情况下达朗贝尔方程的解。一，标势和矢势的达朗伯方程的解标势方程中p=p(x,t)为已知。若p(x,t)较复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。1-2

1-2 标势方程中 为已知。若 较 复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从 一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。 (x,t)   =  (x,t)   本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。 一. 标势和矢势的达朗伯方程的解

1，点电荷在空间激发的标势设点电荷处于原点,p(x,t)=Q(t)(x)，考虑对称性取球坐标且 β=β(r,t）与，无关。标势的达朗贝尔方程化为：a1aO(t)s(r)P*2.at2Orar6001CC当r≠0时，福natadr1duu(r,t)令 (r,t)=3atO11-3

1-3 设点电荷处于原点， ，考虑对称性 取球坐标且 与 无关。标势的达朗贝 尔方程化为： (x,t) Q(t) (x)    =   = (r,t) ,  当 r  0 时， 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 r r r r c t      − =    1. 点电荷在空间激发的标势 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( ) Q t r r r c t r r        − = −    ＊ r u r t r t ( , ) ( , ) = 2 2 2 2 2 1 0 u u r c t   − =   令

这个类似于一维波动方程的解可以表示为：(r≠0)f(t -g(t+ ru(r,t)= f(t--)+ g(t+=)p(r,t) =CC1f(t-%)由于讨论代表向外传播的球面波辐射问题rg(t +=)= 0g(t+ /)代表向内收敛的球面波Q(t-%与点电荷电势类比有：(r,t)4元80rQ(x',t - I若点电荷不在原点而在空间x点：β(x,t)=4元80r可以证明上述解的形式满足＊式1-4

1-4 r c r f (t − ) r c r g(t + ) 代表向外传播的球面波 代表向内收敛的球面波 这个类似于一维波动方程的解可以表示为： ( , ) ( ) ( ) c r g t c r u r t = f t − + + r c r g t r c r f t r t ( ) ( ) ( , ) + + −  = (r  0) 与点电荷电势类比有： r c r Q t r t 0 4 ( ) ( , )    − = ( + ) = 0 c r g t 由于讨论 辐射问题 若点电荷不在原点而在空间 x  点： r c r Q x t x t 0 4 ( , ) ( , )     − =   可以证明上述解的形式满足＊式

2.连续电荷分布在空间产生的电势dvp(x,t)= 4元80r3. 矢势A 的解由于A满足的方程形式上与①满足的方程一样的：类比得到I(XoA(x,t) :dy4元JV11-5

1-5 2. 连续电荷分布在空间产生的电势 0 ( , ) ( , ) V 4 r x t c x t dV r     − =   3. 矢势 A 的解  dV r c r J x t A x t V   − =  ( , ) 4 ( , ) 0       由于 满足的方程形式上与 满足的方程一样， 类比得到 的解： A  A  

a二.证明、A满足洛仑兹条件V.A0at. A=Lo T V.J(x,t)证: 令t'=t-/ =t'(t,x,x)4元= j(x, )+(x, )a4aj(x,t).1 aj(x,t)1 a(x,t)Vt'=rV'rV.J(x,t) =at'at'at'ccaj(x,t)V'tV'.J(x",t)= V'. J(x",tat'Vr =-V'r-1aj(x,t).= V.J(x,t)lc-.V'r-cat'V.J(x',t) = V'.J(x',t)-V'.J(x',t)1-6

1-6 二.证明 、 A 满足洛仑兹条件   2 1 A 0 c t   + =  证：令 ( , , ) r t t t t x x c    = − =  = A dV r J x t V       ( , ) 4 0     0 1 1 [ ( , ) ( , ) ] 4 J x t J x t dV r r   =  +        ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) J x t J x t J x t J x t t r r t c t c t           =  = −  =             = − r r  ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) t c t c J x t J x t J x t t t J x t J x t r c t = =      =   +               =   −        J (x ,t ) J (x ,t ) J (x ,t ) t c    =    −    =      

V.A=[v'. J'(x',t)V".J(x,t)+ J(x',t)"-ldv"dv4元t=c1I'(x,t)rdS=0WoV'dv''.J'(x,t)4元t=c11ap1 op(x,t) ot'1 op(x,Jodvdv2atat'at4元0at'y4元 JV r1app(x,t)po[V'".J'(x,t)V.AdV'=02atat'4元11电荷守恒定律01-7

1 - 7   A =        =  J x t d V r t c ( , ) 1 4 0       −   +    dV  r J x t J x t r ] 1 ( , ) ( , ) 1[     0 1 ( , ) 4 t c J x t dV r   = =      J x t ( , ) dV r     ( , ) 0 S J x t dS r =  =  2 2 0 1 1 1 ( , ) 4 V x t t dV c c t r t t          =       0 1 ( , ) 4 V x t dV r t       =     =    + c t A  2  1 0 1 ( , ) [ ( , ) ] 0 4 t c x t J x t dV r t    =      + =         0 电荷守恒定律

三：推迟势及其物理意义1.推迟势势函数在空间点，t 时刻的值依赖于t-r/时刻的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了/。具有这样特性的势称为推迟势。2.电磁相互作用需要时间空间点 x，t时刻的电磁场由 t-r/的时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历了时间t+r/后才到达观察点，即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为C。1-8

1-8 1．推迟势 势函数在空间 点， 时刻的值依赖于 时刻 的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比 推迟了 。具有这样特性的势称为推迟势。 x  t c r t − c r 空间点 ， 时刻的电磁场由 时刻的电 荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的 物理作用在经历了时间 后才到达观察点， 即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在 真空中为C。 c r t + x  t c r t − 三．推迟势及其物理意义 2．电磁相互作用需要时间