《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）5-3 电偶极辐射

5.3电偶极辐射1-1

1-1 5.3 电偶极辐射

电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即可产生辐射。本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的情况。1-2

1-2 l 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。 l 电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射 出来的。宏观上，主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射，微观上，一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射

一，计算辐射场的一般公式J(x',t)= J(x)e-iot随时间正弦设电荷电流分布或余弦变化p(x,t)= p(x)e-iot(k=0将此式代入推迟势的公式后得到xA(x,t)=0 [(x,IT--r/c)-iotdTA(3) = [()eikr, 则: A(x,t)= A(x)e-i t令d'上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一般公式。与稳恒电流磁场相比这里A 附加了一个因子ikr，称为推迟相因子。1-3

1-3 将此式代入推迟势的公式后得到（ k =  c ） 0 0 ( , / ) ( ) ( , ) [ ] 4 4 ikr J x t r c J x e i t A x t dV dV e r r      −   − = =     令 0 ，则： ( ) ( ) 4 ikr J x e A x dV r    =   ( , ) ( ) i t A x t A x e−  = 一. 计算辐射场的一般公式 上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 附加了一个 因子 ，称为推迟相因子。 A  ikr e ( , ) ( ) ( , ) ( ) i t i t J x t J x e x t x e     − −   =   = 设电荷电流分布： 随时间正弦 或余弦变化

同样可以得到：P(eiktt-0avrep(x,t) = p(x)e0(x,t) =L]4元20r根据洛仑兹条件因此只要求出势即可可以得到势与V. A(x)p(x)得到标势标势的关系：0此情况下电磁场也是时谐电磁场B(x,t) = V× A(x,t) = B(x)e-iotE(,t) = ×B(x,1)（在J=0的区域成立）kaE×B= to+Cotoat1-4

1-4 同样可以得到： ( ) ( ) 2 A x ic x    = −      根据洛仑兹条件 可以得到矢势与 标势的关系： 因此只要求 出矢势即可 得到标势 此情况下电磁场也是时谐电磁场： i t B x t A x t B x e −  ( , ) =  ( , ) = ( )       ( , ) B(x,t) k ic E x t     =  （在 J = 0 的区域成立）  0 0 0 E B J t      = +  0 ( ) ( , ) [ ] 4 ikr x e i t x t dV e r     −  =   ( , ) ( ) i t x t x e    − =

二．矢势的展开1．A在小电荷、电流区域的级数展开设场点到小区域电荷、电流中某点x的距离r>>[（小区域的线度），则有R～r（R为坐标原点到1场点的距离）。将在x=0点展开：x-xR.x'1n.xRRRR3RR其中n为 R方向单位矢量。因为 R>>x，所以仅取前两项而舍去高次项得到1-5

1-5 1． A 在小电荷、电流区域的级数展开  设场点到小区域电荷、电流中某点 的距离 （小区域的线度），则有 （ 为坐标原点到 场点的距离）。将 在 点展开： x   r  l R  r R r x − x  =   1 1 x  = 0  . 1 . 1 . 1 1 1 3 2 +   + = +   = −    + = + R n x R R R x R x r R R      二．矢势的展开 其中 为 方向单位矢量。因为 ，所以仅 取前两项而舍去高次项得到。 n  R  R x  

R1n.xRR-nxR1+n.x/RR+n.x[J(x)eik(R-n.x)A(x) = 0 [uodVdyA(x) :4元R-n.x4元2.求解A(x)的公式因为 R>>[刘≥·刘，所以分母中的·'可以舍去。但是要注意，相因子中的π·x不能轻易舍去2元n.x原因:相对2元不一定是小量。元2利用 ex=1+x+x-+得到：1-6

1-6 R n x R n x R n x R R R n x R r = −      − +   = +            ) (1 ) 1 / 1 ( 2 dV R n x J x e A x ik R n x  −    =  −           ( ) 0 ( ) 4 ( )   0 ( ) ( ) 4 ikr J x e A x dV r    =   2．求解 A(x) 的公式   2 n x    因为 ，所以分母中的 可以舍 去。但是要注意，相因子中的 不能轻易舍去。 R x n x      n  x    n  x    原因： 相对 2 不一定是小量。 1 . 2 e = + x + x + 利用 x 得到：

J(x,t) = J(x)e-iot条件下辐射场的近似公式-10p(x,t) =p(x)eikRA(x) = LloeJ(x)(1 - ikn .x'-.)dv"4元R2元n.x当 l ~<< 时 kn·x<<2元元近似公式可以仅取积分中的第一项，有：ikRA(x) = Loe(J(x)dV'偶极辐射公式4元R1-7

1-7  = J x  − ikn  x  − dV  R e A x ikR ( )(1 .) 4 ( ) 0         l  x     2 2 n x kn x      当 时  =   ( , ) ( ) ( , ) ( ) i t i t J x t J x e x t x e −  −    =  =    条件下辐射场的近似公式 近似公式可以仅取积分中的第一项，有：  = J x  dV  R e A x ikR ( ) 4 ( )  0      偶极辐射公式

3.R与2的关系(1）R>几（远区，即辐射区）电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是本课程主要讨论的内容。1-8

1-8 3． R 与  的关系 （1） R   （近区） 2 , 1 ikR R e k    R t T c 传播时间 =  这一区域内变化电磁场与静场性质类似。 （3） R   （远区，即辐射区） 电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是 本课程主要讨论的内容。 （2） R   （感应区） 过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细 研究这一区域

p=[x'p(x',t)dv三．偶极辐射p=/ J(x,t)dV1.用p表示偶极辐射矢势ikRikRoeuoeA(x,t) =A(x) =(x)dVp4元R4元R02.偶极辐射的电场强度和磁感应强度ikReikReikR0aoB=V×A=oVxpVpDRRR4元4元ikRRikRnikR0ikRikRikRikeVeRRRRRRR用到√→ikk = kn1-9

1-9 0 ( , ) 4 ikR e A x t p R   = 1．用 p 表示偶极辐射矢势  三．偶极辐射 0 ( ) ( ) 4 ikR e A x J x dV R   =     p = x  (x  ,t)dV     p J x t dV = ( , )   2．偶极辐射的电场强度和磁感应强度 . . . 0 0 ( ) ( ) 4 4 ikR eikR eikR e B A p p p R R R     =  =  =   +  0 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ikR e R n ikR ikR ikR ikR ikR e e e ike ik e R R R R R R R  =  +  = − + = − + ik   → k kn   用到 =

，郎k>考虑远区条件R>>7RRikRikeikRp=[j(x,t)dV所以有：enV~RRa-ioatikRikeMoB(x,t)nxpp=-iopp=i/opR4元k = / c, c=1/ Jcoo在1 << <<R 条件ikR下偶极辐射的磁感eB(x,t) =pxn应强度为：4元60c'R1-10

1-10 R k 1  R 1 1   R   n R ike R e ikR ikR    考虑远区条件 ， ，即 ， 所以有： 0 ( , ) 4 ikR ike B x t n p R   =  p J x t dV = ( , )    . . p i p = −  i t   → −  . . p i p = / 在 条件 下偶极辐射的磁感 应强度为： l    R 3 0 ( , ) 4 ikR e B x t p n  c R =  k c = / , 0 0 c =1/  