《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）2-4 静电场求解方法

2.4静电场求解方法2-1

2-1 2.4 静电场求解方法

0、定义式法：dqdE=rodq特+4元8rrdEdqqE= dE= (一ProAL4元60dqdq电荷面密度0电荷体密度p=dsdVdq电荷线密度2dl2-2

2-2 q + + + + ++ + + + + ++ + ++ + 0 2 0 d d 4π q E r  r = 0 2 0 1 d d V V 4π q E E r  r = =   电荷体密度 V q d d  = dq + E  d r  P 电荷面密度 s q d d  = 电荷线密度 l q d d  = 0、定义式法：

正电荷g均匀分布在半径为R的圆环上.计算在环的轴线上任一点p的电场强度dqdq = adl =解dl2元RRPdEAdlX0xdE :dEdE4元80r2adladldEdE=COSAsina4元2r24元8adlAdlxqxE:dECOsAPL 4元2gr2 r4元g(R2 +x2)3/2L4元&.12-3

2-3 2 0 d d 4π l E r   = d d d 2π q q l l R 解 = =  正电荷q均匀分布在半径为R的圆环上.计算在环 的轴线上任一点p的电场强度. // 2 0 d d cos 4π l E r    = 2 0 d d sin 4π l E r    ⊥ = // 2 2 2 2 3 2 0 0 0 d d d cos 4π 4π 4π ( ) l l x qx E E L L L r r r R x       = = = = +   

一、高斯定理：（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性】其步骤为对称性分析：根据对称性取合适的闭合面；应用高斯定理计算2-4

2-4 一、高斯定理： 其步骤为 ✓ 对称性分析； ✓ 根据对称性取合适的闭合面； ✓ 应用高斯定理计算. （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）

均匀带电球面的电场强度一半径为R，均匀带电 9的球面：求球面内外任意点的电场强度解（1)0REqE.ds=q元CS,q0E24元20r24元r2E= 9R0r602-5

2-5 + + + + + + + + + + + + O R 均匀带电球面的电场强度 d 0 1  = S E S   E = 0  2 0 d S q E S   =  r S1 2 0 4π q E  r = 2 0 4π q r E  = r 2 s 一半径为 , 均匀带电 的球 面 . 求球面内外任意点的电场强度. R q 2 0 4 π q  R o R r E 解（1） 0  r  R （2） r  R

场强与电势的关系：-A= o(U。-U,)=-qdU?hdl0A= gE.dl = gE cosQdl = qE,dlU+dUNUE, = Ecos0-dU = E,dldUE, = -dl电场中某一点的场强沿某一方向的分量，等于电势沿该方向上变化率的负值。2-6

2-6 二 场强与电势的关系： 0 0 A q U U q U = − = − ( d a b） cos E E l =  − = d d U E l l 电场中某一点的场强沿某一方向的分量，等于 电势沿该方向上变化率的负值。 0 0 0 d cos d d A q E l q E l q E l =  = =  l d d l U E l = −

利用场强与电势梯度的关系，求半径为R，面电荷密度为c的均匀带电圆盘轴线上的场强解如图所示 dg=α2元rdr=0元dr20元dr2dU =dr4n6 (r? + x)/2PX则圆盘在P点产生的电势为dr2CR2+x3)1/21046rO[VR2 +x2 -x]+x=2-7

2-7 利用场强与电势梯度的关系，求半径为R，面电荷 密度为σ的均匀带电圆盘轴线上的场强. 2 2 2 1/ 2 0 d d 4 ( ) r U r x   = + 则圆盘在P点产生的电势为 2 2 2 1/ 2 0 0 d d 4 ( ) R r U U r x   = = +   2 2 2 2 0 0 0 [ ] [ ] 2 2 R r x R x x     = + = + − 解 如图所示 2 d 2 d d q r r r = =   

aux0所以P点场强为E.=ax280P+ xauau:0ECOzd即轴线上一点的场强为xE250R2+x2-8

2-8 所以P点场强为 2 2 0 (1 ) 2 x U x E x R x    = − = −  + 0 y U E y  = − =  0 z U E z  = − =  即轴线上一点的场强为 2 2 0 (1 ) 2 x E i R x   = − +

三、分离变量方法：分离变量方法又称Fourier级数方法。其实质是通过变量分离将偏微分方程变为含有待定参数的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表示待求函数；把待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出问题的解。2-9

2-9 分离变量方法又称 Fourier 级数方法。其实质 是通过变量分离将偏微分方程变为含有待定参数 的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本 征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表 示待求函数；把待求函数的问题转化为求展开系 数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出 问题的解。 三、分离变量方法：

n轴对称情形：P, (cos0)(R,0)=+a.Rn14Pn+1P,(cosの）为Legendre函数。P(cos) = 1P(cosO)= cos0P(cos0) ==(3cos2 -1)2?(5cos2 0-3cos0)P,(cos )-22-10

2-10 轴对称情形： ( )   ( )      = + + n n n n n n P R b  R, a R cos 1 (cos ) Pn 为Legendre函数。             = − = − = = . (5cos 3cos ) 2 1 (cos ) (3cos 1) 2 1 (cos ) (cos ) cos (cos ) 1 2 3 2 2 1 0         P P P P