《电动力学》课程授课教案（讲义）第六章 狭义相对论

第六章狭义相对论86.1狭义相对论的基本原理1905年，爱因斯坦根据下列两个基本原理建立了狭义相对论1相对性原理在每个惯性系里，自然现象所遵循的物理规律都相同。2.光速不变性原理在每个惯性系里，光在真空中的速率都相同（即都是c）

第六章 狭义相对论 §6.1 狭义相对论的基本原理 1905 年，爱因斯坦根据下列两个基本原理建立了狭义相对论。 1．相对性原理 在每个惯性系里，自然现象所遵循的物理规律都相同。 2．光速不变性原理 在每个惯性系里，光在真空中的速率都相同（即都是 c ）

86.2洛伦兹变换由两个基本原理，可以得出彼此相对运动的两个惯性坐标系之间的变换关系，这种变换关系通常叫做洛伦兹变换。1.特殊洛伦兹变换设两个笛卡儿坐标系Z和Z的坐标轴互相平行，其中x轴相重合。Z'系沿x正轴方向以匀速=(v0,0)相对于Z系运动。在t=t=0时刻，两个坐标系的原点重合。则洛伦兹变换为x =r(x-vi)(6.2.1)(6.2.2)y=yN=N(6.2.3)t =r(t-(6.2.4)t)式中c是真空中的光速，y+1(6.2.5)2c2逆变换只需将速度改变符号即可。2.一般洛伦兹变换如图1-5-1所示，两个笛卡儿坐标图1-5-1般的洛伦兹变换系Z和的坐标轴保持平行，系的原点o°以匀速讠=(，"，v.)相对于Z系做匀速直线运动。这时洛伦兹变换为y2-V!xVx =|1+(y-1)-(6.2.6 )x+(y -1) -y+(y-1)-=(y-1)y+(y-)y:1+(y-( 6.2.7)11-v,V

§6.2 洛伦兹变换 由两个基本原理，可以得出彼此相对运动的两个惯性坐标系之间的变换关 系，这种变换关系通常叫做洛伦兹变换。 1．特殊洛伦兹变换 设两个笛卡儿坐标系  和 '  的坐标轴互相平行，其中 x 轴相重合。 '  系沿 x 正轴方向以匀速 ( , 0, 0) x v = v  相对于  系运动。在 0 ' t = t = 时刻，两个坐标系的 原点重合。则洛伦兹变换为 ( ) (6.2.4) (6.2.3) (6.2.2) ( ) (6.2.1) 2 ' ' ' ' x c v t t z z y y x x v t = − = = = −   式中 c 是真空中的光速， 2 2 1 1 c v −  = （6.2.5） 逆变换只需将速度改变符号即可。 2．一般洛伦兹变换 如图 1-5-1 所示，两个笛卡儿坐标 系  和 '  的坐标轴保持平行， '  系的 原点 o' 以匀速 ( , , ) x y z v = v v v  相对于  系做匀速直线运动。这时洛伦兹变换为 z v t v v v y v v v x v v x x x x y x y  +  − +  − −       = + − 2 2 2 2 ' 1 ( 1) ( 1) ( 1) （6.2.6） z v t v v v y v v x v v v y y z y y z    +  − −         = − + + − 2 2 2 2 ' ( 1) 1 ( 1) ( 1) （6.2.7）

V2 =(y-1)学x+(-1)y+|1+(y-1)(6.2.8 )-W21VVV(6.2.9)1=-2z+y1x-Y-y-y.-OC-

z v t v v y v v v x v v v z z y z x z z    −       = − + − + + − 2 2 2 2 ' ( 1) ( 1) 1 ( 1) （6.2.8） z t c v y c v x c v t x y z = − − − +  2 2 2 ' （6.2.9）

86.3相对论的时空理论1同时性概念的相对性根据洛伦兹变换，再同一个惯性系里的各个地方，有共同的同时性；而在两个做相对运动的惯性系里，则没有共同的同时性。例如，惯性系以匀速v沿轴相对与惯性系运动。在Z系里各处是同一时刻发生的事件，只要它们发生地点的坐标x不相同，则在≥系观察，这些时间便不是同一时刻发生的。同样，在Z系同一时刻发生的事，只要它们发生地点的坐标x不相同，则在系观察，这些事件也不是同一时刻发生的。2.运动时钟的延缓（时间膨胀）设在惯性系Z的同一地点，t,时刻发生一事件A，t,时刻发生另一事件B，这两事件相隔的时间为(6.3.1)At=t, -li在Z系观测，A发生于t,时刻，B发生于t,时刻，这两事件相隔的时间为(6.3.2 )At=tz-ti由洛伦兹变换（6.2.1）（6.2.4）两式得出At(6.3.3)At=>ATv2Vi-△t是同一地点发生的两事件之间的时间间隔，也就是静止的钟所测出的时间，叫做原时。上式表明，运动系（Z系）所经历的时间△要比静止系（Z系）所经历的时间△t短些。换句话说，运动系的时间要比静止系的慢些。这种现象叫做时间膨胀

§6.3 相对论的时空理论 1．同时性概念的相对性 根据洛伦兹变换，再同一个惯性系里的各个地方，有共同的同时性；而在两 个做相对运动的惯性系里，则没有共同的同时性。例如，惯性系 '  以匀速 v 沿轴 相对与惯性系  运动。在 '  系里各处是同一时刻发生的事件，只要它们发生地 点的坐标 ' x 不相同，则在  系观察，这些时间便不是同一时刻发生的。同样，在  系同一时刻发生的事，只要它们发生地点的坐标 x 不相同，则在 '  系观察， 这些事件也不是同一时刻发生的。 2．运动时钟的延缓（时间膨胀） 设在惯性系 '  的同一地点， ' 1 t 时刻发生一事件 A ， ' 2 t 时刻发生另一事件 B ， 这两事件相隔的时间为 ' 1 ' 2  = t − t （6.3.1） 在  系观测， A 发生于 1 t 时刻， B 发生于 2 t 时刻，这两事件相隔的时间为 2 1 t = t −t （6.3.2） 由洛伦兹变换（6.2.1）（6.2.4）两式得出     −   = 2 2 1 c v t （6.3.3）  是同一地点发生的两事件之间的时间间隔，也就是静止的钟所测出的时间， 叫做原时。上式表明，运动系（ '  系）所经历的时间  要比静止系（  系）所 经历的时间 t 短些。换句话说，运动系的时间要比静止系的慢些。这种现象叫 做时间膨胀

3.长度收缩（运动尺度的缩短）设一物体以速度v沿x轴相对与惯性系Z作为匀速运动，而它相对与惯性系Z则是静止的。在Z系的同一时刻，测出它的前端α的坐标为x，，后端b的坐标为x，则它在Z系的长度为( 6.3.4)1= X2 -X在Z系测出α的坐标为x，，b的坐标为x，它在Z系的长度为(6.3.5)lo = x2-x,由洛伦兹变换（6.2.1）和（6.2.4）两式得出1121 = l。 /1(6.3.6)3<11.是物体静止时测出的长度，叫做静长。上式表明，物体运动时，沿运动方向上的长度/要比静止时的长度1.短。这种现象叫做长度收缩，也有人叫做洛伦兹收缩。4.速度变换公式设一质点以速度i=（uxu,,u.)相对于Z系运动。Z系相对于Z系沿x轴正方向以速度运动。由洛伦兹变换可推出该质点在系中的速度的分量为v2u.y/i-uyc?c2ui=u.-v(6.3.7)u. u,1_vuvux1_vur1-c3c?c逆变换为1221uc2c2u,+v( 6.3.8 )4uy1+vu.1+yu1+vu?c2c2

3．长度收缩（运动尺度的缩短） 设一物体以速度 v 沿 x 轴相对与惯性系  作为匀速运动，而它相对与惯性系 '  则是静止的。在  系的同一时刻，测出它的前端 a 的坐标为 2 x ，后端 b 的坐 标为 1 x ，则它在  系的长度为 2 1 l = x − x （6.3.4） 在 '  系测出 a 的坐标为 ' 2 x ，b 的坐标为 ' 1 x ，它在 '  系的长度为 ' 1 ' 0 2 l = x − x （6.3.5） 由洛伦兹变换（6.2.1）和（6.2.4）两式得出 2 0 2 0 1 l c v l = l −  （6.3.6） 0 l 是物体静止时测出的长度，叫做静长。上式表明，物体运动时，沿运动方向上 的长度 l 要比静止时的长度 0 l 短。这种现象叫做长度收缩，也有人叫做洛伦兹收 缩。 4．速度变换公式 设一质点以速度 ( , , ) u = ux uy uz  相对于  系运动。 '  系相对于  系沿 x 轴正 方向以 v  速度运动。由洛伦兹变换可推出该质点在 '  系中的速 ' u  度的分量为 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 ' 1 1 1 1 1 c v u c v u u c v u c v u u c v u u v u x z z x y y x x x − − = − − − − = （6.3.7） 逆变换为 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 ' ' 1 1 1 1 1 c v u c v u u c v u c v u u c v u u v u x z z x y y x x x + − = + − = + + = （6.3.8）

86.4相对论理论的四维形式1、闵可夫斯基空间与爱因斯坦惯例（1）闵可夫斯基空间是四维空间，它的坐标为(6.4.1)X=x,x,=,x,=z,X=ict（2）爱因斯坦惯例（i）三维空间的矢量其分量右下标用拉丁字母（如i，j，k，…等）表示；四维空间的矢量其分量右下标用希腊字母（如μ，V，元，...等）表示。(i）惯例凡在求和中如要对重复指标求和是则略去求和符号>，就意味着对重复指标求和，这就是爱因斯坦惯例。该指标称为愧儒（哑）指标。如≥4,Bi=1写作A,Bu。2、洛伦兹变换的四维形式(6.4.2 )xu=amx,对于特殊的洛伦兹变换（6.2.1）至（6.2.4）诸式，在闵可夫斯基空间中改用下列变换矩阵aw00ipyY0100(6.4.3)a=001000(-ipyY式中B=U(6.4.4 )c逆变换矩阵为

§6.4 相对论理论的四维形式 1、 闵可夫斯基空间与爱因斯坦惯例 （1） 闵可夫斯基空间是四维空间，它的坐标为 x = x x = y x = z x = ict 1 2 3 4 , , , （6.4.1） （2） 爱因斯坦惯例 （i）三维空间的矢量其分量右下标用拉丁字母（如 i ， j ，k ，.等）表示； 四维空间的矢量其分量右下标用希腊字母（如  ， ， ，.等）表示。 (ii) 惯例 凡在求和中如要对重复指标求和是则略去求和符号  ，就意味着 对重复指标求和，这就是爱因斯坦惯例。该指标称为傀儡（哑）指标。如 = 4 i 1 AB 写作 AB。 2、洛伦兹变换的四维形式 v v x a x  =  ' （6.4.2） 对于特殊的洛伦兹变换（6.2.1）至（6.2.4）诸式，在闵可夫斯基空间中改用 下列变换矩阵 v a               − =       0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 i i a (6.4.3) 式中 c   = （6.4.4） 逆变换矩阵为

00-iyY0100(6.4.5)=α:001000(ipyY变换矩阵满足正交变换条件(6.4.6)aa=1式中I为单位矩阵。3.物理量的变换（1）洛伦兹不变量是在洛伦兹变换下数值不变的标量。例如光速c，原时t，间隔△s，相位Φ电荷q等。（2）协变矢量是具有四个分量的物理量，它在洛伦兹变换下，每个分量象四维空间的坐标那样变换，即Vi=anv,( 6.4.7 )（3）二阶协变张量在洛伦兹变换下按下式(6.4.8)Tm=aμaapTap变换的物理量T叫做四维二阶协变张量。4.一些四维协变矢量（1）四维速度1(6.4.9 )U.(u,ic)u?c2式中讠是通常意义下的速度

              − = = −       0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ~ i i a a (6.4.5) 变换矩阵满足正交变换条件 aa = I ~ （6.4.6） 式中 I 为单位矩阵。 3．物理量的变换 （1）洛伦兹不变量 是在洛伦兹变换下数值不变的标量。例如光速 c ，原时  ，间隔 s ，相位  ， 电荷 q 等。 （2）协变矢量 是具有四个分量的物理量，它在洛伦兹变换下，每个分量象四维空间的坐标 那样变换，即 V = avVv ' （6.4.7） （3）二阶协变张量 在洛伦兹变换下按下式 Tv = aavT ' （6.4.8） 变换的物理量 Tv 叫做四维二阶协变张量。 4.一些四维协变矢量 （1）四维速度 ( , ) 1 1 2 2 u ic c u U  −  = （6.4.9） 式中 u  是通常意义下的速度

（2）四维波矢量(6.4.10 )k=(k,式中K和の分别是单色平面波的波量和圆频率。（3）电流密度四维矢量Jμ=(J, icp)(6.4.11)式中j和p分别是电流密度和电荷密度。（4）电磁场的四维势矢量A, =(A L0)(6.4.12)C式中和分别是矢量和标势。（5）离子的动量一能量四维失量P.=(P,(6.4.13)-E)C式中P和E分别是粒子的动量和能量。（6）四维力矢量k.)Kμ=(k,(6.4.14)c式中R_dp(6.4.15)dtdEK.v-9(6.4.16)dt四维力密度矢量( 6.4.17 )式中了是力密度，了·π是该力的功率密度。（7）四维梯度算符

（2）四维波矢量 ( , ) c k k i    = （6.4.10） 式中 k  和  分别是单色平面波的波矢量和圆频率。 （3）电流密度四维矢量 ( , )  J J ic  = （6.4.11） 式中 J  和  分别是电流密度和电荷密度。 （4）电磁场的四维势矢量 ( , )  c i A A  = （6.4.12） 式中和分别是矢量和标势。 （5）离子的动量—能量四维矢量 ( , E) c i P P   = （6.4.13） 式中 P  和 E 分别是粒子的动量和能量。 （6）四维力矢量 ( , k v) c i K k    =   （6.4.14） 式中 d dP K   = （6.4.15） d dE K  v =   （6.4.16） 四维力密度矢量 ( , )     = f  c i f f （6.4.17） 式中 f  是力密度，    f  是该力的功率密度。 （7）四维梯度算符

0-=(V, -1%)(6.4.18)-axcat

( , ) c t i x   =  −    （6.4.18）

电动力学的相对论不变性86.51.四维形式的电荷守恒定律OT=0(6.5.1 )Oxu2.四维形式的势的波动方程和洛伦兹条件势的波动方程的四维形式为2%A,=-HoJ.( 6.5.2 )ax,ax洛伦滋条件的四维形式为a(6.5.3 )A.=0ax3.电磁场张量1E,0B,- B,cLE2-B,0B,c(6.5.4)Fuu=LE,0B2-B,cLELELE,0cCcF是一个四维二阶反对称张量，只有六个独立分量。F还可以用四维势矢量表示为aA,_aAuFuo=( 6.5.5 )ax.ax,由（6.5.4）可见，电磁场E和B是同一个张量的不同分量。E，B与F.的关系为

§6.5 电动力学的相对论不变性 1．四维形式的电荷守恒定律 = 0     x T （6.5.1） 2．四维形式的势的波动方程和洛伦兹条件 势的波动方程的四维形式为     A  J x x = − 0     （6.5.2） 洛伦滋条件的四维形式为 = 0     A x （6.5.3） 3．电磁场张量                         − − − − − − = 0 0 0 0 1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1 E c i E c i E c i E c i B B E c i B B E c i B B F （6.5.4） F 是一个四维二阶反对称张量，只有六个独立分量。 F 还可以用四维势矢量表示为      x A x A F   −    （6.5.5） 由（6.5.4）可见，电磁场 E  和 B  是同一个张量的不同分量。 E B   , 与 F 的 关系为