《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）3-5 磁多极矩

3-5磁多极矩1-1

1-1 3-5 磁多极矩

本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment）对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。1、势的多极展开给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为j(x)A(x)= Ldt'4元r1-2

1-2 本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在 远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment) 对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的 能量问题。 1、矢势 的多极展开 给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为 A     = V d r j x A x    ( ) 4 ( ) 0    

如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点x又距离该区域比较远，这时可仿照静电情况的电多极矩展开的方法，把矢势A(x)作多极展开，即把在区域内的某一点展开成又的幂级数。若展开点取在坐标的原点，则A(3) = [()174T"o=+...dti(x"x'x':. V-x4元RR2!RL= A()(x) + A()(x) + A(2) (x) + .:1-3

1-3 如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点 又距离该区 域比较远，这时可仿照静电情况的电多极矩展开的方法，把矢 势 作多极展开，即把 在区域内的某一点展开成 的幂级数。若展开点取在坐标的原点，则 x                   = + + +        =  −  +    +   =   ( ) ( ) ( ) 1 : 2! 1 1 1 ( ) 4 ( ) 4 ( ) (0) (1) (2) 0 0 A x A x A x d R x x R x R j x d r j x A x V V       r 1 A(x)   x  

展开式的第一项：PoA()(x) =(x)dtR4元1oi(x)二ds'dl"4元Rf Idi'=Hofdiμo4元RJL4元RJL= 0即 A(°)(x)=0表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在。1-4

1-4 展开式的第一项： 即 表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在。 0 4 4 1 ( ) 4 1 ( ) 4 ( ) 0 0 0 (0) 0 = =  =  =    =       L L V V dl R I Idl R ds dl R j x d R A x j x                  ( ) 0 (0) A x  =  

展开式的第二项：A() = -o(x)x.dt'R4元Vμoj(x)x;VdtR4元VoVj(x)x,dt"4元R因为()x =[()x + j()]+[()x - j;()]"[(x'x]=["(x +()·[ +(x).'x= j(x)x + j (x)x1-5

1-5 因为    = −     = −    = −    V i i V i i V j x x d R d R j x x d R A x j x x          ( ) 1 4 1 ( ) 4 1 ( ) 4 ( ) 0 0 (1) 0                    j x x j x x j x x x j x x x j x x x x j x x j x x j x x j x x j x x j x x i i i i i i i i i i i =   +       =     +      +       =   +   +   −                             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 展开式的第二项：

这里用到了稳恒电流条件V'. j(x)=0所以()=-()x(dtR4元MVx + (r4元o,-i(hr4元plo[i()xx t'8元V1-6

1-6 这里用到了稳恒电流条件 所以   j(x ) = 0             =       −    −    = −    +    = −     V i i V i i i V i i i V i i j x x x d R j x x j x x d R j x x j x x d R j x x d R A x                            ( ) 1 8 ( ) ( ) 2 1 1 4 ( ) ( ) 2 1 1 4 ( ) 1 4 ( ) 0 0 0 (1) 0

Fbcx-(9t8元μo[()x; ks8元R+0Sμov[()x - j(t8元Rplo[[(x - j;(tV8元Duo-;()V;j(x)x/V;R8元Ruo()-().T二-8元RR1-7

1 - 7               = −    −       = −   −    = −    −    −    −    = −      −    −    V i i V i i i i V i i i V i i i S i i V i i i d R x j x R j x x d R x j x R j x xj x x j x x d R j x x j x x d R j x x x ds R j x x j x x d R                 1 ( ) 1 ( ) 8 1 ( ) 1 ( ) 8 ( ) ( ) 1 8 ( ) ( ) 1 8 ( ) 1 8 ( ) ( ) 1 8 000 0 00                           0

其中[-] R=×(]R故得到A (x) = - ox'×j(x)dt'×=R4元mxRLoR34元式中:x'×j(x)dt'm =2称此为磁矩。L1-8

1-8 其中 故得到 式中： 称此为磁矩。 j x x x j x  R x j x  R            ( ) −  ( )  =  ( )  3 0 (1) 0 4 1 ( ) 2 1 4 ( ) R m R R A x x j x d V         =                = −           =    V m x j(x )d 2  1   

A()(x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，展开式的一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。第三项：po)=x'':VV=dt'A(2)(x) = -7(x)R2!4元T将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂，一般不去讨论。综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的势的迭加1-9

1-9 表示把整个电流系的磁矩集中在原点时， 一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。展开式的 第三项： 将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂，一般不去 讨论。 综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢势可 看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势的迭加。  = −      V d R A x j x x x    1 : 2! 1 ( ) 4 ( ) (2) 0       ( ) (1) A x  

2、磁偶极矩的场和磁标势根据，即有B=V×AB= V×A= V×[(0) + A() + A(2) +...= B(O) + B() + ...由此可见B(0) = V× A(0) = 0B() = V×A()=V× m×RR34元Rpox(mxP4元RRpoR3R71-10

1-10 2、磁偶极矩的场和磁标势 根据 ，即有 由此可见 B A   =             = + + =  =  + + + (0) (1) (0) (1) (2) B B B A A A A       =  −  =    =  =  =  = 3 3 0 3 0 3 (1) (1) 0 (0) (0) ( ) ( ) 4 ( ) 4 4 0 R R m m R R R R m R m R B A B A                  