《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 扭转 Torsion §3-5 杆在扭转时的变形 · 刚度条件（Torsional deformation of circular bars & stiffness condition）

S3-5杆在扭转时的变形·刚度条件(Torsional deformation of circularbars &stiffness condition)一、扭转变形（Torsionaldeformation）1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角@来度量的TdoGIdx其中d@代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角长为1的一段杆两端面间的相对扭转角@可按下式计算9= J.dg= Jiedx

1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的 §3-5 杆在扭转时的变形 ·刚度条件 (Torsional deformation of circular bars & stiffness condition) 一、扭转变形 (Torsional deformation) 其中 d 代表相距为dx 的两横截面间的相对扭转角. 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算 d p d GI T x =  x GI T l l d d p    =  =

扭转角?一TlGIGI称作抗扭刚度2.单位长度扭转角（Angleoftwistperunitlength）TD(rad/m)GI

2.单位长度扭转角(Angle of twist per unit length)  — 扭转角 GIp 称作抗扭刚度 = p Tl GI   = = ( ) p rad m T l GI  

3.刚度条件(Stiffness condition)轴的扭转刚度校核是计算的轴的工作时扭转变形量，是用每米轴长的扭角度量的。轴的扭转变形要影响机器的性能和工作精度，如内燃机凸轮轴的扭转角过大，会影响气门的正确启闭时间；龙门式起重机运动机构传动轴的扭转角会影响驱动轮的同步性；对有发生扭转振动危险的轴以及操纵系统中的轴，都需要有较大的扭转刚度。Pmax ≤[p']maxmax(rad/m)≤['] 0maxGI1?1称作许可单位长度扭转角(Allowableangleoftwistperunitlength)

轴的扭转刚度校核是计算的轴的工作时扭转变形 量，是用每米轴长的扭角度量的。轴的扭转变形要 影响机器的性能和工作精度，如内燃机凸轮轴的扭 转角过大，会影响气门的正确启闭时间；龙门式起 重机运动机构传动轴的扭转角会影响驱动轮的同步 性；对有发生扭转振动危险的轴以及操纵系统中的 轴，都需要有较大的扭转刚度。 3.刚度条件（Stiffness condition)  max   []   =  [ ] ( ) max max p rad m T GI   称作许可单位长度扭转角 (Allowable angle of twist per unit length) []

对于一般传动轴，可取[]= 0.5～1°/m；对于精密传动轴，可取［@]=0.25～0.5/m：对于精度要求不高的轴，［]可大于1°/m

对于一般传动轴，可取[φ]＝ 0.5 ~1 o /m ；对于 精密传动轴，可取[φ ]＝0.25 ~ 0.5 o /m；对于精度要 求不高的轴，[φ ]可大于1 o /m

例题5图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa，PDB=1°.试求：（1）AD杆的最大切应力：(2)扭转角CAM.2M.3MC解：画扭矩图CBDATmax=3Me计算外力偶矩M2aPDB=PCB+ΦDC=1°3M.2M180°2MM00=1M.X+GIGI元pp

例题5 图示等直杆, 已知直径d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切 弹性模量G = 80GPa，DB =1°. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA a a 2a Me 2Me 3Me D C B A Me + 2Me 3Me 解：画扭矩图 计算外力偶矩Me  DB=  CB+  DC =1° Tmax= 3Me 1 π 180 ) 2 ( p e p e +  =  GI M a GI M a

M.=292kN·mMe2M.3M.CC（1）AD杆的最大切应力cBDATmax69.7MPaLmaxW.2aa(2）扭转角CA3M.2M.M.+PCA=PBA十PCB=180°3M..2aM.12.33°XXGIGI元pp

（1）AD杆的最大切应力 69.7MPa t max max = = W T  Me = 292kN m （2）扭转角 CA   2.33 π 180 ) 3 2 ( p e p e  =  +  = + = GI M a GI M a  CA  BA  CB a a 2a Me 2Me 3Me D C B A Me + 2Me 3Me

例题6某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚8=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kNm，材料的许用切应力【z1=100MPa，切变模量为G=80GPa，轴的许可扭角[1=2°/m.试校核轴的强度和刚度MMSD

例题6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成, 钢管 外径 D = 76mm, 壁厚d =2.5mm, 轴传递的转矩Me=1.98kN·m, 材料的许用切应力[ ] = 100MPa, 切变模量为G = 80GPa, 轴的许可扭角[′ ] = 2/m . 试校核轴的强度和刚度. d D d Me Me

解：轴的扭矩等于轴传递的转矩MMT= M. =1.98 kN·ms轴的内、外径之比DdD-28d0.934α =DD元D17.83×10mm13212.06×10*mmWD/2Tmax96.1MIPa<[T]由强度条件TmaxW180°2max=1.81° /m<[@']由刚度条件0maxGI元力

解：轴的扭矩等于轴传递的转矩 轴的内、外径之比 由强度条件 由刚度条件 . − = = = 2 0 934 d  d D D D p 4 3 t 2.06 10 mm / 2 = =  D I W 96.1MPa [ ] t max max  = =   W T ( ) . − = =  4 4 5 4 p π 1 7 83 10 mm 32 D I  =  =  . / [ ] max max p 180 1 81 m π T GI   T = Me = 1.98 kNm d D d Me Me

将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使max=96.1MPaTmax=96.1MPaTmax元d3 /16实心轴的直径为d=47.2mm元d?1749mm其截面面积为4元(762-712)=577mm空心轴的截面面积为4两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，577A0.3291749A在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料

将空心轴改为同一材料的实心轴, 仍使  max= 96.1MPa 实心轴的直径为 d = 47.2mm 两轴材料、长度均相同, 故两轴重量比等于两轴的横截面积比， 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, 即节省材料. 96.1MPa π /16 3 max max = = d T  其截面面积为 2 2 1749 mm 4 π = = d A实 空心轴的截面面积为 2 2 2 577mm 4 π(76 71 ) = − A空 = 0.329 1749 577 1 2 = = A A

例题7两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一个扭转力偶矩M.的作用，如图所示.已知杆的抗扭刚度GI，试求杆两端的支反力偶矩。M.BCba

例题7 两端固定的圆截面杆AB, 在截面C 处受一个扭转力偶矩 Me 的作用, 如图所示.已知杆的抗扭刚度GIp , 试求杆两端的支反 力偶矩. C Me a b A B l