《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams（知识1）挠曲线的近似微分方程、积分法求弯曲变形

挠曲线的近似微分方程

挠曲线的近似微分方程

挠曲线近似微分方程1Mx)力学公式EIPx)d2dx21数学公式土出p(x))313/2[1-+d2挠曲线dx2M(x)土微分方EI程3/2[1+

力学公式 数学公式 挠曲线近似微分方程 EI M =  1 1 ＝ (x) d 2v dx 2 [1+(dv dx ) 2] 3/2 ± （x) （x) ＝ M(x) EI d 2v dx 2 [1+(dv dx ) 2] 3/2 ± 挠曲线 微分方 程

挠曲线近似微分方程小挠度情形下<<1d2M(x)dx2M(x)d2y士=±CEIEI[1+此即弹性曲线的小挠度微分方程

M(x) ＝± EI d 2v dx 2 小挠度情形下 ( dv dx ) 2 << 1 此即弹性曲线的 小挠度微分方程 挠曲线近似微分方程 ＝ M(x) EI d 2v dx 2 [1+(dv dx ) 2] 3/2 ±

挠曲线近似微分方程M>OrM>0d2yd2vdx?<0dx2MMMMD2MMd2d2ydx2dx2EIEI

M EI ＝ d 2v dx 2 ＝ d 2v dx 2 M EI − 挠曲线近似微分方程 v v 2 > d 2v dx 2 0 2 < d 2v dx 2 0

积分法求弯曲变形

积分法求弯曲变形

积分法求梁的变形d?yM2EIdxMdyAdx+C=JEIdxMV=J(JEdxdx+Cx+DC、D：积分常数。由边界条件（支承条件、连续条件）来确定

积分法求梁的变形 EI M x v = 2 2 d d = =  x + C EI M x v d d d  x x Cx D EI M v =  (  d )d + + C、D：积分常数。 由边界条件（支承条件、连续条件）来确定

支承条件x=0V=0,0=0x=0,V=0x=l,V=0

支承条件 x v O 0, 0 0 = = = v  x A B x v , 0 0, 0 = = = = x l v x v l

例题1解：1.求支座反力，列弯矩方程qV9192M(x) =+X22x万AT(0≤x≤l)qlRB=9RA2qlq232EIv'+Cxx462.确定积分常数qlq4边界条件: v(O)= v(U) = 0ElV+Cx+DXX1224-qlC=D=0.249133.确定转角和挠度方程1ql92OX4EI624qx3-2lx+x3)V=24EI

例题1 解：1.求支座反力，列弯矩方程 RA RB 2 ql = 2 ql = x v 2 ( ) 2 2 (0 ) ql q M x x x x l = −   2.确定积分常数 2 3 1 4 6 ql q EIv x x C  = − + 3 4 12 24 ql q 边界条件： v v l (0) ( ) 0 = = EIv x x Cx D = − + + 3 0, 24 ql D C = = − 3. 确定转角和 挠度方程 3 1 2 3 4 6 24 ql q ql x x EI    = − −     3 3 ( 2 ) 24 qx v l lx x EI = − − +

-qlqlq39EI2446qx(3- 2lx+ xV24EI4. y max, 0,max令：V=0=0X213-21x+ x3= 05ql384EI令： v"=09/30ax/=[0/=[0B/=ma24EI,=0, x =l

3 3 ( 2 ) 24 qx v l lx x EI = − − + 令：v = =  0 4. y max , θmax θ B 3 1 2 3 4 6 24 ql q ql x x EI    = − −     3 3 l lx x − + = 2 0 1 2 3 5 1 1 5 , , 2 2 2 l x x l x l + − = = = 4 5 384 ql f EI = − 令： v = 0 1 2 x x l = = 0, 3 max 24 A B ql EI    = = = f

例题2解：1.求支座反力，列弯矩方程PbM(x)(0≤x≤a)AC段：X1PbCB段:M,(x) =(a≤x≤l)x2 -P(xz -a)-PbBCX1FbPaRR

例题2 RA RB 解：1.求支座反力，列弯矩方程 l Pb = l Pa = x l A B v a P b x1 C x2 ( ) (0 ) 1 x1 x1 a l Pb AC段： M x =   CB段： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x P x a a x l l Pb M x = − −  