《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 压杆稳定 Buckling of Columns $9-4 欧拉公式的应用范围 Applicable range for Euler’s formula

S9-4欧拉公式的应用范围一、欧拉公式的应用范围1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的应力元EIFcr(ul)?AA问题：cr会不会超过材料的比例极限？如果超过材料的比例极限，欧拉公式不再适用。如何判别欧拉公式是否适用？

1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的应力 §9 - 4 欧拉公式的应用范围  cr 2 2 ( ) cr cr F EI A l A    = = 一、 欧拉公式的应用范围 如果超过材料的比例极限，欧拉公式不再适用。 问题： 会不会超过材料的比例极限？ 如何判别欧拉公式是否适用？

2.细长压杆的临界应力：1惯性半径。A元?E元?EIFcrOA(μul/i)(ul)?A设ul=柔度（或长细比）i柔度：由截面几何形状、杆长和两端约束条件决定的压杆的一个力学参数。元?Ecr22

I i A = —— 惯性半径。 l i   = 设 2.细长压杆的临界应力： —— 柔度（或长细比） 2 2 2 2 ( ) ( / ) cr cr F EI E A l A l i      = = = 2 cr 2  E   = 柔度：由截面几何形状、杆长和两端约束条件决 定的压杆的一个力学参数

3.欧拉公式的应用范围：元?E≤0p0比例极限一opCT22元?E2.Y元?EEop1）当≥p时，欧拉公式适用。这时的压杆称为细长杆或大柔度杆元?Eul1p

令 2 P  E    2 P P  E   = 1）当 这时的压杆称为细长杆或大柔度杆。 时， 欧拉公式适用。 2 cr P 2  E    =   P 3.欧拉公式的应用范围： —— 比例极限 2 P l E i        P

例如：Q235钢E=206GPaCp = 200MPaF2元~E～~100aul≥100iu= 1h2/3hB100～28.9h2/3

206 , 200 例如： Q235钢 E GPa MPa = =  P F B A l h 2 = 100 P P  E     = 1 100 l i   100 28.9 2 3 l h   2 3 h i =

2）当<p时，欧拉公式不适用。元E元?E0722lli这时的压杆称为中柔度杆、小柔度杆

这时的压杆称为中柔度杆、小柔度杆。 2）当    P 时， 欧拉公式不适用。 l i   =  cr 2 2    E cr =  P P  2 P = P  E  

a(MPa)450当入足够小时，400拉饰没有发生失稳35C现象发生，只发300生屈服，是强度问题。2502001501005000.100.150.050.200.25低碳钢压缩与拉伸对比图

当λ足够小时， 没有发生失稳 现象发生，只发 生屈服，是强度 问题

2当入足够小时，cr没有发生失稳现象发生，只发生屈服，是强度0S问题。OP元?E22ul2=721S工作应力在非线性弹性阶段几,=?有发生失稳的可能。临界应力？

l i   =  cr 2 2    E cr =  P P  当λ足够小时， 没有发生失稳 现象发生，只发 生屈服，是强度 问题。  S s ? s = 工作应力在非线性弹性阶段。 有发生失稳的可能。临界应力？

例如：Q235钢冈 p=200MPa，、=240MPa能否发生失稳？如何分析稳定性？1)当<<，时，压杆称为中柔度杆工作应力在非线性弹性阶段。为弹塑性稳定性问题。如内燃机活塞的挺杆，大多为中柔度杆。2)当<时，压杆称为小柔度杆没有发生失稳现象发生，只发生屈服，是强度问题

能否发生失稳？如何分析稳定性？ = = 200 , 240 例如： Q235钢   P s MPa MPa 1) 当λs < λ < λ p 时，压杆称为中柔度杆。 2) 当λ < λ s 时，压杆称为小柔度杆。 没有发生失稳现象发生，只发生屈服，是强度 问题。 工作应力在非线性弹性阶段。为弹塑性稳定性 问题。 如内燃机活塞的挺杆，大多为中柔度杆

二、中柔度杆的临界应力计算与临界应力总图1)当<<时1.直线型经验公式= abo= α-baa、b查表求得asO元E0C122uLi

二、中柔度杆的临界应力计算与临界应力总图 1.直线型经验公式 cr   = −a b a、 b 查表求得。 1) 当λs < λ < λ p 时， i L =  cr 2 2    E cr = cr   = −a b  P  S s  P 

1)当<<时,= a-ba、b查表求得。常用材料的a、b和入，值b材料aA3钢102304.01.1295优质碳钢461.02.5770铸铁1.46332.280木材28.70.19

常用材料的a、b和λp 值 材 料 a b λp A3钢 304.0 1.12 102 优质碳钢 461.0 2.57 95 铸 铁 332.2 1.46 70 木 材 28.7 0.19 80 a、 b 查表求得。 1) 当λs < λ < λ p 时， cr   = −a b