《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 压杆稳定 Buckling of Columns §9-4a 欧拉公式的应用范围•经验公式（Applicable range for Euler’s formula • the experimental formula）

压杆稳定(Bucklingof Columns)S9-4欧拉公式的应用范围·经验公式(ApplicablerangeforEuler'sformulatheexperimental formula)一、临界应力（Critical stress）1.欧拉公式临界应力（Euler'scriticalstress)压杆受临界力F作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按α=FIA计算按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为E（ul)A

(Buckling of Columns) 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算. §9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula • the experimental formula ) 一、临界应力 (Critical stress) 1. 欧拉公式临界应力(Euler’s critical stress) 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为 l A EI A F σ 2 2 cr cr ( ) π  = =

压杆稳定(BucklingofColumnsF元EEIT元cr则A0cr(ul/i)(ul)?AA元Eu则今2Tcr22i为压杆横截面对中性轴的惯性半径孔称为压杆的柔度（长细比），孔由截面几何形状、杆长和两端约束条件决定的压杆的一个力学参数。几越大，相应的越小，压杆越容易失稳。集中地反映了压杆的长度1、杆端约束条件、截面形状和尺寸三个因素对临界应力的影响

(Buckling of Columns) i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. ( ) ( / ) = = = F EI E σ A l A l i 2 2 cr cr 2 2 π π    称为压杆的柔度（长细比）， 由截面几何形状、杆长和 两端约束条件决定的压杆的一个力学参数。越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。 集中地反映了压杆的长度 l 、杆端 约束条件、截面形状和尺寸三个因素对临界应力的影响. 令 l i   = A I i = 2 2 cr π  E σ = 令 则 则

压杆稳定(Bucklingof Columns若压杆可能在不同平面内失稳，则支承约束条件也可能不同，这时应分别计算压杆在各平面内失稳时的长度系数u、惯性半径i，得到该在应平面内失稳时的柔度入按较大者计算压杆的临界应力 cr

(Buckling of Columns) 若压杆可能在不同平面内失稳，则支承约束条件也可能不 同，这时应分别计算压杆在各平面内失稳时的长度系数 μ 、惯 性半径 i ，得到该在应平面内失稳时的柔度 。按较大者计算压 杆的临界应力 cr

压杆稳定(Bucklingof Columns)例题1已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩1=6.5×104mm4,l=3.8×104mm，弹性模量E=2.1X105MPa.试计算临界力F088000182

(Buckling of Columns) 例题1 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长压杆.截面形状 为工字钢形，惯性矩 Iz=6.5×10 4 mm4 ,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性 模量 E = 2.1×10 5 MPa.试计算临界力Fcr . x 880 1000 y z y x z 880

压杆稳定(Bucklingof Columnsx0008088分析思路：（1）杆件在两个方向的约束情况不同；（2）计算出两个临界压力.最后取小的一个作为压杆的临界压力

(Buckling of Columns) F F l x z 880 （1）杆件在两个方向的约束情况不同； x 880 1000 y z y （2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆 的临界压力. 分析思路：

压杆稳定(Buckling of Columns)解：xOy面：约束情况为两端铰支u=1，l1=1m00010883.142×2.1×10ll×6.5×10-8元EIFcr(ul)?(1×1)2=134.6kNxOz面：约束情况为两端固定u=0.5，I=l1=0.88m元EI3.142×2.1×10ll×3.8×10-82cr(ul)?(0.5×0.88)8= 406.4kN所以连杆的临界压力为134.6kN

(Buckling of Columns) 解： 134.6kN (1 1) 3.14 2.1 10 6.5 10 ( ) π 2 2 1 1 8 2 2 c r =      = = − l EI F  x 880 1000 y z y 406.4kN (0.5 0.88) 3.14 2.1 10 3.8 10 ( ) π 2 2 1 1 8 2 2 c r =      = = − l EI F  所以连杆的临界压力为134.6kN. xOy面：约束情况为两端铰支 = 1，I=Iz， l = 1m xOz面：约束情况为两端固定 = 0.5，I=Iy， l = 0.88m F F l x z 880

压杆稳定(BucklingofColumns欧拉公式的应用范围(ApplicablerangeforEuler'sformula)只有在er≤，的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力Fsr（临界应力cr）。E元E元≥元或<0crD220pEa(a)=元a即≥，（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围

(Buckling of Columns) 二、 欧拉公式的应用范围 (Applicable range for Euler’s formula) 只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr）. =  或 2 cr p 2 π E σ σ  ( p ) = E σ 1 p   π  E σp  π 令 即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围. . l i       =  

压杆稳定(Buckling ofColumns)即，（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范，E=206GPa，,=200MPa，得例如，对于0235钢，围。 206×10°E100=元1元200×100孔，的大小取决于压杆材料的力学性能。是一个材料参数但当入<入时，压杆的临界应力不能应用欧拉公式来计算此时需用经验公式

(Buckling of Columns) 即 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范 围. 但当  ＜1时, 压杆的临界应力不能应用欧拉公式来计算。 此时需用经验公式. 例如，对于Q235钢，E=206GPa，p=200MPa，得  = =   9 1 6 p 206 10 π π 100 200 10 E σ  1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 是一个材料参数

压杆稳定(Buckling of Columns)例如：Q235钢 E=206GPa,p = 200MPaF元?E~100ul≥100ihμ= 12/3100L~28.9h2/3hB长宽比大于30的杆，才是大柔度杆二

(Buckling of Columns) 206 , 200 F 例如： Q235钢 E GPa MPa = =  P B A l h 2 1 = 100  P  E    = 1 100 l i   100 28.9 2 3 l h   2 3 h i = 长宽比大于30的杆，才是大柔度杆

压杆稳定(Buckling of Columns99-1压杆稳定的概念(Thebasicconceptsof columns)一、引言（Introduction）FNmax≤[α]第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为0maxA例如：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm×1钢的许用应力为[=196MIPa.按强度条件计算得钢板尺所mm.能承受的轴向压力为[FI = A[] = 3.92 kN.实际上，其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度，而是与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到4ON时，钢板尺就突然发明显的弯曲变形，丧失了承载能力

(Buckling of Columns) 第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm  1 mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 能承受的轴向压力为 [F] = A[ ] = 3.92 kN. §9–1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns) 实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发 明显的弯曲变形,丧失了承载能力. 一、引言 (Introduction) [ ] Nmax max σ A F σ = 