《材料力学》课程教学课件（讲稿）能量法（卡氏定理2/2、单位载荷法 - 莫尔积分）

Beijing Jiaotong niversityTnestitutcolEngincningMechanic能量法

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 能量法

Beijing Jiaotong niversityT卡氏定理nstituteolEnginceningMechanicF2.余能定理和卡氏第二定理FF2F311B一般非线性弹性体AAA4..ATHm按比例方式加载余能为：V =W。=≥J。4dF（广义力、广义位移）设第个荷载F有一微小增量dF则外力总余功的改变量为：dW.=,dFI1aVdFdV.余能的相应改变量为：CaFi余能对某一广义力的偏aVc（余能定理）导数，等于与该广义力4.一=oFi相对应的广义位移

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2.余能定理和卡氏第二定理 余能为： 0 1 d n F c c ii i VW F ∆ = = = ∑ ∫ 设第i个荷载Fi 有一微小增量dFi ， 则外力总余功的改变量为： dWc = ∆i d Fi 余能的相应改变量为： i i c c F F V dV d ∂ ∂ = 卡氏定理 一般非线性弹性体 1 2 3 n 1 2 3 n B 按比例方式加载 = F V i c i ∂ ∂ ∆ = (余能定理) (广义力、广义位移) 余能对某一广义力的偏 导数，等于与该广义力 相对应的广义位移

Beijing Jiaotong MniversityT卡氏定理nstitutcolEnginceningMechanicsav.(余能定理）AoFi对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V。余能V此时上式变为：av（卡氏第二定理）aFi★卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理，作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。★所导出的位移是加力点沿加力方向的位移

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V ε= 余能V c 此时上式变为： F V i i ∂ ∂ = ε ∆ F V i c i ∂ ∂ ∆ = (余能定理) (卡氏第二定理) 卡氏定理 ★卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合 于非线性弹性体，而卡氏第二定理，作为余能定理的特 例，仅适合于线弹性体。 ★所导出的位移是加力点沿加力方向的位移

BeijingJiaotongniversityT卡氏定理InstituteolEnginceningMechasicaV:A（卡氏第二定理）aFi★当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。★实际计算时，常采用以下更实用的形式：addZdxZdx+4, =12EAaFaF2GIpaFHaMMalFnOFNdx+Z]IGI, aF.=ZJ1dx+dx2EAOFiEIF

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 22 2 d dd 22 2 d dd N i ll l i ip i N N lll i ii p F TM x xx F FI F EA G EI F F T T MM x xx EA F FF GI EI ∆ ∂∂ ∂       =+ + ∑∑ ∑       ∂∂ ∂       ∂ ∂ ∂ =++ ∑∑∑ ∂ ∂∂ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ★实际计算时，常采用以下更实用的形式： ★当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上 广义力，将其看成已知外力，待求过偏导后，再令该 “虚加”外力为0。 F V i i ∂ ∂ = ε ∆ (卡氏第二定理) 卡氏定理

Beijing Jiaotong MniversityT卡氏定理一例2nstituteolEnginceningMechanicsF9求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。解：1）求内力（弯矩）；Bx求应变能（外力的函数）：203）将应变能对外力求导。2aM(x)qxM(x)= Fx +=x2aFFI3914avM(x)aM(x)6dxWBaFEI8EIaF3EIaTTamMaFNdx+HZJdx+ZIIGIdxZi4, =EIFiEAOFaFiD

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。 x F qx M x M x Fx = ∂ ∂ = + ( ) , 2 ( ) 2 3 4 () () 3 8 B l V M x M x Fl ql w dx F EI F EI EI ε ∂ ∂ = = = + ∂ ∂ ∫ 解：1）求内力（弯矩）； 2）求应变能（外力的函数）； 3）将应变能对外力求导。 卡氏定理例2 d dd N N i lll i ii p F F T T MM x xx EA F FF GI EI ∆ ∂ ∂ ∂ =++ ∑∑∑ ∂ ∂∂ ∫∫∫

Beijing Jiaotong niversityT卡氏定理一一例3estitutokEngiucnindMechanic弯曲刚度为E的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度qoH解：x在自由端“虚加”外力F。任意x截面处的弯矩为：VIgo3+ FxM(x) = Mg(x)+ M F(x)=X6M(x)qolaM(x)oxF-0dx=C(-x)dxWA=JoEIaF61EIJo30EIIF=0

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材 料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定 理计算悬臂梁自由端的挠度。 解： 在自由端“虚加”外力F。 任意x截面处的弯矩为： 1 0 3 () () () 6 q F q M x x x M M x Fx l   = + =− +     q q x l y A B x 0 0 l x F 卡氏定理例3 ( ) 3 4 0 0 0 0 0 0 ( ) () 1 d d 6 30 l l F A F M x M x q q x l w x x x EI F EI l EI = = ∂   = = − ⋅− =   ∂   ∫ ∫

Beijing Jiaotong niversityT卡氏定理一例4estitutokEngiuceninMechasic弯曲刚度均为EI的静定组合梁ABC,AB段上受均布荷载g作用，如图α所示。梁材料为线弹性体，，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。?gl02MBBAMgl解：在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b)AB段弯矩方程：2MBqlqx2MEM(x)=+glx-B22

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC， AB段上受均布荷载q作 用，如图a 所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的 影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。 解： 在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b) AB段弯矩方程： 2 2 ( ) 2 2 2 q l q x x M l M M x ql B B −         − +      = + q A l B C l 卡氏定理例4 2 2 2 ql MB + l M ql B + l MB MB MB A C B q x x

Beijing Jiaotong niversityT卡氏定理一例4TstituteolEngnceninMechanicsMiBBC段弯矩方程：M(x)x91由卡氏第二定理得：M(x)MB=0 OM(x)dx40 B=iEIaxMg=07q1324EI（结果符号为正，说明相对转角4e的转向与图b中虚加外力偶M.的转向一致）

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 由卡氏第二定理得： 0 0 3 ( ) ( ) d 7 24 MB MB B l M x M x x EI x ql EI ∆θ = = ∂ = ∑ ∫ ∂ = (结果符号为正，说明相对转角∆θB的转向 与图b中虚加外力偶MB的转向一致) BC段弯矩方程： ( ) M B Mx x l = − 卡氏定理例4 MB MB A C B q x x

Beijing Jiaotong niversityTnstitutcolEnginceningMechani单位载荷法(莫尔积分）

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 单位载荷法(莫尔积分)

Beijing JiaotongiversityT单位载荷法（莫尔积分）nstitutcolEnginceningMechanic求结构上任一点某方向上位移的方法。HB△=?单位载荷法X-1H21B福△-?

Beijing Jiaotong University 单位载荷法(莫尔积分) Institute of Engineering Mechanics F2 A B F1 Fn ∆=? C 求结构上任一点某方向上位移的方法。 X=1 F2 A B F1 Fn C ∆=? 单位载荷法