《材料力学》课程教学课件（讲稿）第6章 弯曲变形 6.1 弯曲变形基本方程 6.2 计算梁位移的叠加法

第6章 弯曲变形弯曲变形基本方程计算梁位移的方法梁的刚度条件与设计刚架及简单静不定梁分析

第 6 章 弯曲变形  弯曲变形基本方程  计算梁位移的方法  梁的刚度条件与设计  刚架及简单静不定梁分析

弯曲内力一在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力一在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。弯曲变形一在外力作用下，梁轴线空间位置的变化规律

弯曲变形— 在外力作用下，梁轴线空间位置的变化 规律。 弯曲内力－ 在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。 弯曲应力— 在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的 分布规律

弯曲变形及其特点挠曲轴qA变弯后的梁轴，称为由挠曲轴是一条连续、光挠曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于对于细长梁，剪力对弯曲C计，因而横截面仍保持平面，主研究弯曲变形的目的，进不定梁，为研究压杆稳定问

 弯曲变形及其特点  挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线  对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不 计, 因而横截面仍保持平面， 并与挠曲轴正交 挠曲轴  变弯后的梁轴，称为挠曲轴  研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算， 分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础

口 挠度与转角IW转角0挠度WxFq挠度一横截面形心在垂直于梁轴方向的位移w = w (x)-挠曲线方程转角一横截面的角位移逆时针为正θ = x)一转角方程度与转角的关系（小变形）由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计dwdwθ = θ' ~ tan θ'=A(rad)-dxdx

 挠度与转角 转角 －挠度 挠度与转角的关系 （小变形） 挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 w = w (x)－挠曲线方程 转角－横截面的角位移 θ = θ(x) －转角方程 x w d d θ = （rad） 逆时针为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 θ = θ′ ≈ tan θ′ dx dw =

梁变形基本方程M1纯弯梁变形基本方程EIP(x)M(x)推广到非纯弯p(x)EIbrp(x)1'23M(x)w = w(x)W十挠曲轴微分方程一3/2[1 + w]EIW一弯矩引起的挠度1Omax< Op

 梁变形基本方程 EI M x x ( ) ( ) = ρ 1 [ ] 3/2 ( ) 2 1 1 w w x + ′ ′′ = ± ρ [ ] EI M x w w ( ) 3/2 = ± + ′ ′′ 2 1 EI M = ρ 1 推广到非纯弯  w－弯矩引起的挠度  σmax < σp －挠曲轴微分方程 纯弯梁变形基本方程 ρ w wx = ( ) (x)

梁变形基本方程w"M(x)+小变形时：w"2 0,w">0M<0,w"<0x0应用条件：坐标轴w向下时：1Qmx≤,d"wM(x)小变形2dx?EI3坐标轴w向上

小变形时： ′ << 1 2 w EI M x x w ( ) d d2 = ± 2 EI M x x w ( ) d d 2 2 = [ ] EI M x w w ( ) 3/2 = ± + ′ ′′ 2 1 －挠曲轴近似微分方程  σ max ≤ σ p  小变形  坐标轴 w 向上 应用条件： EI M x x w ( ) d d2 = − 2 坐标轴 w 向下时：  梁变形基本方程

计算梁位移的方法1．积分法求梁位移2．叠加法求梁位移

 计算梁位移的方法 1. 积分法求梁位移 2. 叠加法求梁位移

积分法求梁位移d"wM(x)dx?EIM(x)dwdx +C = AdxEIM(x)门dxdx + Cx + DW=EIFW=0W=0.W=0W-W+ W'=W'约束处位移应满足的梁段交接处位移应满足条件一位移边界条件的条件一位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数

EI M x x w ( ) d d2 = 2 x C EI M x x w = ∫ d + ( ) d d x x Cx D EI M x w = ∫ ∫ d d + + ( ) 约束处位移应满足的 条件 梁段交接处位移应满足 －位移边界条件 的条件－位移连续条件 利用位移边界条件与连续条件确定积分常数 1. 积分法求梁位移 = θ

例 用积分法求梁的最大挠度，EI为常数4WFbFDFAYhFB1Fax2HBu1解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分积分时不要拆开括号AC段CB段d'wFbFbd'w,F-a(x,XEltdx,dx?EllEIFbFbdwdwH, - a) + C,x+Cx.2EIldx,2EIl2EIdx,FFbFb(x, - a) + C,x, + D,x + Cx, + D,W,W6EI6EI6EI0≤x≤aα≤x≤l

例 用积分法求梁的最大挠度，EI 为常数 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 l Fb FAy = l Fa FBy = 2 1 1 1 2 x EIl Fb x w = d d 1 2 1 1 1 2 x C EIl Fb x w = + d d 1 1 1 3 1 1 6 x C x D EIl Fb w = + + (x a) EI F x EIl Fb x w = 2 − 2 − 2 2 2 2 d d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a C EI F x EIl Fb x w = − ( − ) + d d 2 2 2 3 2 3 2 2 6 6 x a C x D EI F x EIl Fb w = − ( − ) + + AC段 CB段 0 1 ≤ ≤ x a ax l ≤ ≤2 积分时不要拆开括号

wFFBFAYbaFbBCxx +Cx +D, O≤x, ≤aW.1A6EIxi7Tx2Fb1(x, - a)" + C,x, + D,Wx.6Ell6EIa≤x≤l2.确定积分常数位移连续条件：位移边界条件：x=0:w=0x=x=a:w=w,x, = l : w, = 0dw, / dx, = dw, / dx,Fb(b2-[)D =D,=0Ci=C2 =6EILFbFb0≤x≤a(b? -1’ )x)WX6EIl6EIlFbRFb-a)3 +(b2- [°)x2Wa≤x≤lX26EIL6EI6EIL

x1 = 0 : w1 = 0 x2 = l : w2 = 0 x1 = x2 = a : w1 = w2 位移边界条件： 位移连续条件： D1 = D2 = 0 ( ) 6 2 2 1 2 b l EIl Fb C =C = − dw1 / dx1 = dw2 / dx2 2. 确定积分常数 1 1 1 3 1 1 6 x C x D EIl Fb w = + + 2 2 2 3 2 3 2 2 6 6 x a C x D EI F x EIl Fb w = − ( − ) + + 0 1 ≤ ≤ x a ax l ≤ ≤2 3 22 1 1 1 Fb Fb w = x + (b - l )x 6EIl 6EIl 0 1 ≤ ≤ x a 3 3 22 2 22 2 () ( ) Fb F Fb w = x - x -a + b -l x 6EIl 6EI 6EIl ax l ≤ ≤2