《材料力学》课程教学课件（讲稿）第二章 拉伸压缩与剪切 2.5 拉压杆件的超静定问题 2.6 拉压杆件的应变能 2.7 连接部分的强度计算

材料力学第2章拉伸、压缩与剪切拉压杆的内力与应力材料在拉伸与压缩时的力学性能轴向拉压变形分析杆件在轴向载荷作用下的强度设计简单拉压超静定问题分析拉压杆件的应变能连接部分的强度计算(剪切、挤压)

第 2 章 拉伸、压缩与剪切  拉压杆的内力与应力  材料在拉伸与压缩时的力学性能  轴向拉压变形分析  杆件在轴向载荷作用下的强度设计  简单拉压超静定问题分析  拉压杆件的应变能  连接部分的强度计算(剪切、挤压)

材料力学85拉压杆件的超静定问题////////LHN321FBxFNIFFN22B1AC未知力个数>平衡方程数n=未知力的个数-独立平衡方程的数目

P FN3 FN1 FN2 未知力个数 > 平衡方程数 n = 未知力的个数 - 独立平衡方程的数目 §5 拉压杆件的超静定问题

材料力学拉压杆件的超静定问题超静定问题求解：11212EB2B1AC(1)确定静不定次数；列静力平衡方程静力学方面(2)根据变形协调条件列变形几何方程几何方面（胡克定律）(3)将变形与力之间的关系物理方面代入变形几何方程得补充方程(4)联立补充方程与静力平衡方程求解

拉压杆件的超静定问题 超静定问题求解： 静力学方面 几何方面 物理方面 (1)确定静不定次数；列静力平衡方程 (2)根据变形协调条件列变形几何方程 (3)将变形与力之间的关系（胡克定律） 代入变形几何方程得补充方程 (4)联立补充方程与静力平衡方程求解

材料力学拉压杆件的超静定问题例求两端固定杆的支反力l1122,1FFBxF2BI1cA解：1.静力学方面(a)ZF,=0, F-Fx-Fx=0NAc + Ic = 02.几何方面Fil.FxlFnzh(-FBx)L)3.物理方面NIACNlcB.EAEAEAEA(b)FAxl-Frxl=04.建立补充方程5.支反力计算联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)FlzFl,FFBxAx1,+,1+l2

例 求两端固定杆的支反力 解： ∑ = 0, − − = 0 (a) Fx F FAx FBx 2.几何方面 ∆ + ∆ = 0 AC CB l l 4.建立补充方程 0 (b) FAx l1−FBx l2= 5.支反力计算 联立求解平衡方程(a)与补充方程(b) 1 2 2 l l Fl FAx + = 1 2 1 l l Fl FBx + = 3.物理方面 EA F l EA F l l Ax AC N1 1 1 ∆ = = EA F l EA F l l Bx CB N2 2 2 (− ) ∆ = = 1.静力学方面 拉压杆件的超静定问题

材料力学拉压杆件的超静定问题例：杆1、2的抗拉压刚度相等为EA，杆3横截面面积HN3为A3，弹性模量为E3，杆3长为L。求：三杆内力FNIFN2解：1．静力学方面////////ZF,=0ZF,=0L3P30°LL2Fn2 ×sin30°-Fn1×sin30°= 04Fn1×cos30°+Fn2Cos30°+F3-P=0NL2Fn1 = Fn22Fn1 COs30° +Fn3 = PAL,P△L△L = △L, ×cos 302.几何方面变形协调方程

例：杆1、2的抗拉压刚度相等为EA，杆3横截面面积 为A3，弹性模量为E3，杆3长为L。求：三杆内力 解： ∑ = 0 Fx ∑ = 0 Fy 2 ×sin 30 − 1 ×sin 30 = 0   FN FN cos30 cos30 0 FN1 × + FN 2 + FN3 − P =   FN1 = FN 2 2FN1 cos30 + FN3 = P  ∆L2 ∆L1  ∆L1 = ∆L3 ×cos30 变形协调方程 A  30 P ∆L3 A’ L1 L2 L3 拉压杆件的超静定问题 P FN3 FN1 FN2 1. 静力学方面 2.几何方面

材料力学拉压杆件的超静定问题3. 牛物理方面1_Fx,×L,/cos30°F3 × L3FniL,ALALAL3-EAEAE,A,L,= △L,×cos30FN3/cos 30°Fn × L3 /XLKCOS30°EAE,AFF2Fni Cos30°+ Fn3 = PN1N2PPFn,= Fn2FN3N1EAE,A,2cos30°+1+2XC0s30°EA×cos?30°E,As

11 1 3 1 2 cos30 FL F L N N L L EA EA × ∆= = = ∆  3 3 3 3 3 E A F L L N × ∆ = FN1 = FN 2 2FN1 cos30 + FN3 = P    cos 30 2cos30 2 3 3 1 2 × + = = EA E A P FN FN  1 2 cos30 3 3 3 + × = E A EA P FN  ∆L1 = ∆L3 ×cos30 1 3 3 3 3 3 cos30 cos30 FL FL N N EA E A × × = ×   拉压杆件的超静定问题 3. 物理方面

材料力学拉压杆件的超静定问题温度应力温度变化 = 伸长/缩短△/= α△T.lα：热膨胀系数应变：=αAT1单位温度改变下长度AT的增加量FNIA'= AI =α△T.lEA△TNNF =α△T.EAFN（温度应力）αEAT0=A静定结构没有温度应力；超静定结构才有温度应力

FN α: 热膨胀系数 单位温度改变下长度 的增加量 F T EA N = ∆α  温度变化 ⇒ 伸长/缩短 = ∆l ∆ ∆ l Tl ＝α  F l N l EA ∆ ′＝ FN E T A σ α = = ∆ 温度应力 ∆T ∆l l 应变: ε α ＝ ∆T ∆T FN = ∆α T l (温度应力) 静定结构没有温度应力; 超静定结构才有温度应力 拉压杆件的超静定问题

材料力学拉压杆件的超静定问题例：两杆均为钢杆，E=200GPa，α=12.5×10-6/c.两杆横截面面积均为A=10cm2.若BC杆温度降低20℃.而BD杆温度不变。求两杆内应力一次超静定。静力关系：FMCOs30°=FN2△CE(0)变形关系：△l,=△l,cos30°Fn2l2Fnil392△l.△=α△T.1 -EAEA1△lFn2 = 26.6kNFn =30.3kNF(0)N1=30.3MPa00A5300FN2=26.6MPa0 (2)A

D C B 0 30 l (1) (2) 例：两杆均为钢杆,E=200GPa,α=12.5×10-6/0C.两杆横截面面积均 为A=10cm2.若BC杆温度降低200C,而BD杆温度不变。求两杆内应力 0 30 l (1) FN1 FN2 2 0 一次超静定。静力关系：FN1 cos30 = FN 变形关系： 0 ∆l 1 = ∆l2 cos30 1 1 1 F l N l Tl EA ∆ ∆ ⋅− ＝α EA F l l N 2 2 ∆ 2 ＝ FN1 = 30.3kN FN 2 = 26.6kN ( ) ( ) 1 1 2 2 30.3 26.6 N N F MPa A F MPa A σ σ = = = = 2 ∆l 1 ∆l 拉压杆件的超静定问题

材料力学拉压杆件的超静定问题装配应力SFNIS=EAs=EAHMFN1sC=E（装配应力）1静定结构没有装配应力：超静定结构才有装配应力

F EA N l δ = F l N EA δ = 装配应力 (装配应力) 静定结构没有装配应力; 超静定结构才有装配应力 δ l FN FN E l δ σ = 拉压杆件的超静定问题

材料力学例：钢杆1、2、3的面积均为A=2cm2，长度L=1m，引弹性模量E=200GPa，若制造时杆3短了8-0.08cm。试计算刚性横梁ACB安装后1、2、3杆的内力。Fn1 + Fn3 = Fn2ZF, = 0,解：1）平衡方程ZMc=0Fn1 = Fn3FN2FNIFN3232）变形协调方程82(4L, + 4L) = 8 - 4L3 + 4L3）5物理方程231Fv2LFN3LFnLAl,Al,EAEAEABCF1 = Fn3 = 5.33kNAFN1BA"CAL4Fva = 2F2 = 10.67kNN2

例：钢杆1、2、3的面积均为A=2cm2 , 长度L=1m，弹性模量 E=200GPa，若制造时杆3短了δ=0.08cm。试计算刚性横梁ACB 安装后1、2、3杆的内力。 解：1) 平衡方程 0 ∑Fy = ， FF F NN N 13 2 + = 0 ∑MC = F F N N 1 3 = 2) 变形协调方程 12 31 2( ) ∆ ∆ δ∆ ∆ LL LL + =− + 3）物理方程 1 1 F L N l EA ∆ ＝ 2 2 F L N l EA ∆ ＝ 3 3 F L N l EA ∆ ＝ 1 3 F F N N = = 5.33kN 2 3 F F N N = = 2 10.67kN