《材料力学》课程教学课件（讲稿）第5章 弯曲应力 5.2 弯曲应力分析及强度设计-纯弯曲

材料力学第5章弯曲应力纯弯曲应力分析及强度设计横力弯曲正应力分析及强度设计横力弯曲切应力分析及强度设计梁的合理设计

□ 纯弯曲应力分析及强度设计 □ 横力弯曲正应力分析及强度设计 □ 横力弯曲切应力分析及强度设计 □ 梁的合理设计 第 5 章 弯曲应力

材料力学Review弯曲构件横截面上的应力mM当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力Fsmm剪力Fs→切应力tT内力弯矩M→正应力o只有与切应力有关的切向内力元素mdFs=TdA才能合成剪力；-maM只有与正应力有关的法向内力元素dF~=αdA才能合成弯矩在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力m

m m FS 弯曲构件横截面上的应力 M 当梁上有横向外力作用时，一般情况下， 梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS. m m FS τ m m 只有与正应力有关的法向内力元素 σ M dFN = σ dA 才能合成弯矩. 弯矩M 正应力σ 剪力FS 切应力τ 内力 只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = τ dA 才能合成剪力； 在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力. Review

材料力学Review纯弯曲查曲应力分析及强度设计平面假设纵向纤维单向受力假设梁的横截面上只有正应力，且分布不均匀，既有拉应力又有压应力

平面假设 弯曲应力分析及强度设计-纯弯曲 梁的横截面上只有正应力，且分布不 均匀，既有拉应力又有压应力 纵向纤维单向受力假设 Review

材料力学Review纯弯曲弯曲应力分析及强度设计几何方面MMemneabBmnp00, =dx= pdpd@中性层0的曲率02AB=(p+y)dp半径dxB,BB,ByBASBiAB,0,02p纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比

ρ ε y O O B B AB B B = = = 1 2 1 1 1 O1O2 = d x = ρ dϕ AB = (ρ + y)dϕ ρ —— 中性层 的曲率 半径 ρ A B O1 O2 B1 dϕ dx m m n n a b A B 弯曲应力分析及强度设计-纯弯曲 纵向纤维的线应变与它到中性轴的距离成正比 C （一）几何方面 Review

材料力学Review纯弯曲弯曲应力分析及强度设计(二)物理方面由纵向线应变的变化规律一正应力的分布规律假设：不计挤压，梁内各点均处于单轴应力状态。yC=E=Eypp中性轴dAadAx梁横截面上的正应力沿截面高度线性变化

假设：不计挤压，梁内各点均处于单轴应力状态。 ρ ε y = ρ σ ε y = E = E 梁横截面上的正应力沿截面 高度线性变化。 弯曲应力分析及强度设计-纯弯曲 z O y z dA σ dA y x （二）物理方面 由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律 Review

材料力学Review纯弯曲弯曲应力分析及强度设计(三)静力学方面dA=0FNdAdxMzodA=04M. =yodA= MM+OdAMyMo1EIVp

（三）静力学方面 d 0 N = = ∫A F σ A = d = 0 ∫A M y zσ A z O y z dA σ dA y x M y A M A z = = ∫ σ d 弯曲应力分析及强度设计-纯弯曲 M y z O x M dA y σdA FN Mz My Review z I My σ = EIz M = ρ 1

材料力学Review弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲更精确的弹性力学结果显示对于细长梁（lh>5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。FM(x)y9I.N1MImax0二ZWmaxWYmax?Fl4

更精确的弹性力学结果显示： 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 z I M (x) y σ = max max z M W σ = Fl 4 l F max z z I W y = Review 弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲 ？

材料力学弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲例 已知：F=15 kN，[=400 mm，b=120mm，8-20mm试计算：截面 B-B 的最大拉应力of,max与压应力oc,maxh0NBS(1)V61解：1.弯矩计算M=Fl=6000N.m2.形心位置计算由矩形1与矩形2组成的组合截面2A,ycii=1Jc =A

例 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, δ=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力σt,max与压应力σc,max 解：1. 弯矩计算 MB = Fl = 6000 N ⋅ m 2. 形心位置计算 由矩形 1与矩形2组成的组合截面 A A y y Ci n i i C ∑= = 1 弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲

材料力学横力弯曲弯曲应力分析及强度设计一b0bsSbS+X122Aycl + Ayc20.045 mYcbs + SbA + A,b3.惯性矩计复Z0Bst(1)ycb83bc十2112(2)BSbSbo+2122tyI, = I, + I, = 8.84 × 10 mBOt,max4.最大弯曲正应力M,Jc = 30.5 MPatma7M.(b+ S-)BOemax:64.5 MPaOcmar

3. 惯性矩计算 0 045 m 2 2 = . +       ⋅ + + = b b b b b δ δ δ δ δ δ 4 2 m 2 b y . b I - z C 6 3 1 3 02 10 12  = ×      = + − δ δ δ 4 2 m 2 y . b b b I - z C 6 3 2 5 82 10 12  = ×      = + δ δ + − δ 4 m 6 1 2 8 84 10− I z = I z + I z = . × 4. 最大弯曲正应力 t ,max = = 30.5 MPa z B C I M y σ MPa ( ) c ,max = 64.5 + − = z B C I M b δ y σ 1 2 1 1 2 2 A A A y A y y C C C + + = z z1 z 2 I = I + I z 弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲

材料力学弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲例：图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a。F12.5B8C7Om5m0FA-10mFLBW'NSLEM166FlM:375kN·m解：1、作弯矩图max4

例：图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。 试求危险截面上的最大正应力σmax 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力σa 。 B 5m 10m A F C FA FB 12.5 21 166 560 z a M 375 kN.m 解：1、作弯矩图 375 kN m 4 max = = ⋅ Fl M 弯曲应力分析及强度设计-横力弯曲