《材料力学》课程教学课件（讲稿）能量法（杆件应变能的计算、卡氏定理1/2）

Beijing Jiaotong niversityTnestitutcolEngincningMechanic能量法

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 能量法

Beijing Jiaotong niversityTnstituteolEnginceningMechanics1.能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围：（1）线弹性体，非线性弹性体；（2）静定问题，超静定问题；（3）是有限单元法的重要基础

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、 变形和内力等的方法。 2.能量法的应用范围： （1）线弹性体，非线性弹性体； （2）静定问题，超静定问题； （3）是有限单元法的重要基础

Beijing Jiaotong iversityTestetutcolEngiuceninMechasic·杆件应变能的计算·互等定理·卡氏定理·单位载荷法、莫尔积分·计算莫尔积分的图乘法

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics • 杆件应变能的计算 • 互等定理 • 卡氏定理 • 单位载荷法、莫尔积分 • 计算莫尔积分的图乘法

Beijing Jiaotong niversityT杆件应变能的计算InstitutcolEngiuceninsMechasics11、轴向拉压应变能FR1WP△L=1一22EAO(FN恒定)(x)dxFN!KAL:(FN变化)EA2EAPado=Vs=(℃08（应变能密度）2V, = Jvv,dv△1

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics ( ) 2 2 N l F x dx V EA ε = ∫ W = P∆L 2 1 EA F l L N ∆ = 2 2 F l N EA = 1、轴向拉压应变能 Vε = 杆件应变能的计算 l P ∆l (FN恒定) (FN变化) σ σ 0 v d ε ε = σ ε ∫ 1 2 = σε V V v ε ε = ∫ dV (应变能密度)

Beijing Jiaotong Mniversity杆件应变能的计算nstitutcolEngiuceningMechanics2、扭转应变能TT21=W/(T恒定)S22GIpTID(x)dxGI(T变化)2GIp（应变能密度）TY2-v.dVB8

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2 1 2 2 p T l VW T GI ε = = = ϕ p Tl GI 2 ϕ = ( ) l 2 p T x dx V GI ε = ∫ 2、扭转杆件应变能的计算 2、扭转应变能 1 2 = τγ 0 v d γ ε = τ γ ∫ V V v ε ε = ∫ dV τ τ (T恒定) (T变化) (应变能密度) T

Beijing Jiaotong MniversityT杆件应变能的计算nstitutcolEnginceningMechanics3、(纯)弯曲应变能M?1MII0=W一mo-一EIC22EImR(M恒定)M(x)dxV(M变化)82EImod==（应变能密度）082Eydv=0a0

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2 2 M l EI = 1 2 VW m ε = = θ EI Ml θ = 2 ( ) l 2 M x dx V EI ε = ∫ 杆件应变能的计算 3、(纯)弯曲应变能 (M恒定) (M变化) (应变能密度) 0 v d ε ε = σ ε ∫ 1 2 = σε V V v ε ε = ∫ dV τ τ σ σ

Beijing Jiaotong niversityT杆件应变能的计算TstituteolEngiucnindMechanic统一公式：V.=W:FSF一广义力=一28一广义位移SF拉压AFN扭转T9弯曲0M

Beijing Jiaotong University 杆件应变能的计算 Institute of Engineering Mechanics Vε W Fδ 2 1 = = F —广义力 δ —广义位移 统一公式： F δ 拉压 FN ∆l 扭转 T ϕ 弯曲 M θ

Beijing Jiaotong niversityT杆件应变能的计算TstitutcolEngiucnindMechanic非线性弹性：WFdS=VW=dw:CSP=MpW余功台余能FW.=SdF =Vdg8810aq161Vcade二VsJo6V?dg=Vc0Jo818de

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 非线性弹性: 1 1 0 0 W WF d d δ δ = = δ ∫ ∫ 杆件应变能的计算 1 0 d F W F c = δ ∫ 余功 ⇔ 余能 dW=Fd δ F F1 F d δ O δ 1 δ 1 W Wc dε σ O σ σ1 ε 1 ε ∫ = 1 0 d ε vε σ ε =Vε =Vc 1 0 vc d σ = ε σ ∫ vε vc

Beijing Jiaotong MniversityT杆件应变能的计算InstituteolEnginceningMechanic应变能的普遍表达式F3FF1设广义力F,F2,F.作用2于物体，且按同一比例从零83增长到终值，相应地物体产d生变形8,,.….。对于线性弹性材料，变形也将按相同比例增加。则应变能：1F.F,S,so=W=F, +X+3222（克拉贝依隆原理）（应变能是力或位移的二次齐次函数

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 应变能的普遍表达式 F1 F3 F2 δ1 δ2 δ3 设广义力F1, F2 , F3 .作用 于物体，且按同一比例从零 增长到终值，相应地物体产 生变形δ 1, δ 2, δ 3 .。对于线 性弹性材料，变形也将按相 同比例增加。则应变能： 11 2 2 3 3 11 1 22 2 VW F F F ε == + + + δδδ  （克拉贝依隆原理） 杆件应变能的计算 （应变能是力或位移的二次齐次函数）

Beijing Jiaotong iversityT杆件应变能的计算nstitutcolEnginceningMechanics同时承受拉压弯扭的应变能：dxMdxx)dx=X+J2EA2EI2GIPM()M()TT)F(a)F(a)dx组合变形杆微段上的力与力矩

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 同时承受拉压弯扭的应变能： 杆件应变能的计算 ( ) 2 2 N l F x dx V EA ε = ∫ 2 ( ) l 2 M x dx EI +∫ 2 ( ) l 2 p T x dx GI +∫