《材料力学》课程教学课件（讲稿）截面几何性质

材料力学截面的几何性质（附录A）静矩和形心惯性矩和惯性半径平行移轴定理转轴公式

 静矩和形心  惯性矩和惯性半径  平行移轴定理  转轴公式 截面的几何性质(附录A)

材料力学静矩和形心口静矩和形心1、静矩（截面一次轴矩）S, =[, ydA图形对z轴的静矩ZS, =zdA图形对轴的静矩dA单位：m3Z同一图形对不同的坐标轴ol其静矩一般不同

∫ = A y S zdA 1、静 矩（截面一次轴矩） o y z A dA y z 单位： 3 m 图形对 y 轴的静矩 图形对 z 轴的静矩 ∫ = A z S ydA  静矩和形心 静矩和形心 同一图形对不同的坐标轴， 其静矩一般不同

材料力学静矩和形心2、形心：物体的几何中心。（只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。均质体，截面的形心C的坐标为Zc和YcZ0ydAVS= AyAS= AzzdA2Ao1V若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零；图形对某一轴的静矩等于0，该轴必然通过图形的形心截面对形心轴的静矩恒为0

均质体，截面的形心 C 的坐标为 Zc 和 Yc A c A c ydA y A zdA z A = = ∫ ∫ o y z A C c z c y    = = y c z c S Az S Ay ⇒若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零； ⇒图形对某一轴的静矩等于0，该轴必然通过图形的形心 静矩和形心 2、形 心：物体的几何中心。(只与物体的几何形状和尺寸 有关，与组成该物体的物质无关)。 截面对形心轴的静矩恒为0

材料力学静矩和形心例试计算图示三角形截面对于V与其底边重合的x轴的静矩。解：取平行于x轴的狭长条，b(v).b易求b(y)=(hV-0bhXb因此dA=(hy)d 1所以对x轴的静矩为hbh?h bhy)yd yS二6S,=J,ydA

例 试计算图示三角形截面对于 与其底边重合的x轴的静矩。 解： 取平行于x轴的狭长条， ( ) (h y) h b 易求 b y = − h y y h b 因此 d A = ( − )d 所以对x轴的静矩为 6 d ( ) d 2 0 bh h y y y h b S y A h A x = = − = ∫ ∫ O x y b(y) y dy h b 静矩和形心 x d A S = y A ∫

材料力学静矩和形心组合截面的形心静矩计算公式>14ZZZA,MSA,yciMAA;式中A、zci、Jci一表示第i个简单截面的面积及形心坐标

组合截面的形心/静矩计算公式        = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ i z i ci c i y i ci c A A y A S y A A z A S z 式中Ai 、zci、yci —表示第 i 个简单截面的面积及形心坐标。 静矩和形心

材料力学惯性矩和惯性半径口#惯性矩、极惯性矩、惯性积1、惯性矩（截面二次轴矩）1I, =[y2dAI, = [z’dAydAA天1. >0Z9惯性半径y51.-=V1LAA图形对y、z轴的惯性半径

dA y z z y ρ 1、惯性矩（截面二次轴矩） 2 2 = d d = z y ∫ ∫ A A I yA I zA 惯性半径 = y y I i A = z z I i A ——图形对 y 、z 轴的惯性半径  惯性矩、极惯性矩、惯性积 惯性矩和惯性半径 >0 z I

材料力学惯性矩和惯性半径2、极惯性矩（截面二次极矩）2+zp= Ip=[p?dA= [(y2 + 22)dAAVdA=[y’dA+[ z’dAZ3ADIp = I, + I,y截面对一点的极惯性矩截面对以该点为原点的任意三7两正交坐标轴的惯性矩之和

dA y z z y ρ 2 22 ρ = + y z 2 2 = + d d ∫ ∫ A A yA zA I II Pzy = + 2、极惯性矩（截面二次极矩） 2 = ρ d P ∫ A I A 截面对一点的极惯性矩 = 截面对以该点为原点的任意 两正交坐标轴的惯性矩之和 惯性矩和惯性半径 2 2 = + ( )d ∫ A yzA

材料力学惯性矩和惯性半径3、惯性积Iy =[ yzdAyAdA大单位：m4Z.y特点：1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同：2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的对称轴，则 I=0

dA y z z y ρ 3、惯性积 = d yz ∫ A I yz A 单位：m4 特点： 1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同； 2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的 对称轴，则 Iyz = 0 惯性矩和惯性半径

材料力学惯性矩和惯性半径简单截面的弯曲截面系数抗弯截面模量bbh3bh?(1)矩形截面AW1612h/2hb3hb?hZW1126b/21V(2）圆形截面dπd47641Td31Z1ZWW=yN32d /2d /2

简单截面的弯曲截面系数 ⑴ 矩形截面 12 3 bh I z = / 2 6 2 bh h I W z z = = 12 3 b h I y = / 2 6 2 b h b I W y y = = ⑵ 圆形截面 64 π 4 d I I z = y = 32 π / 2 / 2 3 d d I d I W W z y z = y = = = z y b h y z d 惯性矩和惯性半径 抗弯截面模量

材料力学惯性矩和惯性半径（3）空心圆截面元64元D464α=d / D1元DWz32D/2(4)型钢截面：参见型钢表

⑶ 空心圆截面 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 64 π 64 π = −α = = − D I z I y D d α = d / D ( ) y z z W D D I W = = − = 4 3 1 32 π / 2 α (4) 型钢截面：参见型钢表 D O d y z 惯性矩和惯性半径